高等数学课后习题及参考答案(第五章)

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1、高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积.解第一步:在区间[a,b]内插入n-1个分点(i=1,2,×××,n-1),把区间[a,b]分成n个长度相等的小区间,各个小区间的长度为:(i=1,2,×××,n).第二步:在第i个小区间[xi-1,xi](i=1,2,×××,n)上取右端点,作和.第三步:令l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},取极限得所求面积.2.利用定积分定义计算下列积分:(1)(a

2、×,n-1),则(i=1,2,×××,n).在第i个小区间上取右端点(i=1,2,×××,n).于是.(2)取分点为(i=1,2,×××,n-1),则(i=1,2,×××,n).在第i个小区间上取右端点(i=1,2,×××,n).于是.3.利用定积分的几何意义,说明下列等式:(1);(2);(3);(4).解(1)表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积,显然面积为1.(2)表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积,即圆x2+y2=1的面积的:.(3)由于y=sinx为奇函数,在关于原点的对称区间[-p,p]上与x轴所夹的面积的代数和为零,即

3、.(4)表示由曲线y=cosx与x轴上一段所围成的图形的面积.因为cosx为偶函数,所以此图形关于y轴对称.因此图形面积的一半为,即.4.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数,且有p=9×8h(kN/m2).若闸门高H=3m,宽L=2m,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图.用分点(i=1,2,×××,n-1)将区间[0,H]分为n分个小区间,各小区间的长为(i=1,2,×××,n).在第i个小区间[xi-1,xi]上,闸门相应部分所受的水压力近似为DPi=9.8xil×Dxi

4、.闸门所受的水压力为.将L=2,H=3代入上式得P=88.2(千牛).5.证明定积分性质:(1);(2).证明(1).(2).6.估计下列各积分的值:(1);(2);(3);(4).解(1)因为当1£x£4时,2£x2+1£17,所以,即.(2)因为当时,1£1+sin2x£2,所以,即.(3)先求函数f(x)=xarctanx在区间上的最大值M与最小值m..因为当时,f¢(x)>0,所以函数f(x)=xarctanx在区间上单调增加.于是,.因此,即.(4)先求函数在区间[0,2]上的最大值M与最小值m.,驻点为.比较f(0)=1,f(2)=e2,,得,

5、M=e2.于是,即.7.设f(x)及g(x)在[a,b]上连续,证明:(1)若在[a,b]上,f(x)³0,且,则在[a,b]上f(x)º0;(2)若在[a,b]上,f(x)³0,且f(x)≢0,则;(3)若在[a,b]上,f(x)£g(x),且,则在[a,b]上f(x)ºg(x).证明(1)假如f(x)≢0,则必有f(x)>0.根据f(x)在[a,b]上的连续性,在[a,b]上存在一点x0,使f(x0)>0,且f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值.再由连续性,存在[c,d]Ì[a,b],且x0Î[c,d],使当xÎ[c,d]时,.于是.这与条件相矛

6、盾.因此在[a,b]上f(x)º0.(2)证法一因为f(x)在[a,b]上连续,所以在[a,b]上存在一点x0,使f(x0)>0,且f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值.再由连续性,存在[c,d]Ì[a,b],且x0Î[c,d],使当xÎ[c,d]时,.于是.证法二因为f(x)³0,所以.假如不成立.则只有,根据结论(1),f(x)º0,矛盾.因此.(3)令F(x)=g(x)-f(x),则在[a,b]上F(x)³0且,由结论(1),在[a,b]上F(x)º0,即f(x)ºg(x).4.根据定积分的性质及第7题的结论,说明下列积分哪一个的值较大:(1)

7、还是？(2)还是？(3)还是？(4)还是？(5)还是？解(1)因为当0£x£1时,x2³x3,所以.又当0x3,所以.(2)因为当1£x£2时,x2£x3,所以.又因为当1(lnx)2,所以.(4)因为当0£x£1时,x³ln(1+x),所以.又因为当0ln(1+x),所以.(5)设f(x)=ex-1-x,则当0£x£1时f¢(x)=ex-1>0,f(x)=ex-1-x是单调增加

8、的.因此当0£x£1时,f(x)³f(0)=0,即ex³1+x,所