高等数学课后习题及参考答案(第十一章)

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1、高等数学课后习题及参考答案（第十一章）习题11-11.写出下列级数的前五项:(1);解.解.(2);解.解.(3);解.解.(4).解.解.2.写出下列级数的一般项:(1);解一般项为.(2);解一般项为.(3);解一般项为.(4).解一般项为.3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:(1);解因为,所以级数发散.(2);解因为,所以级数收敛.(3).解.因为不存在,所以不存在,因而该级数发散.4.判定下列级数的收敛性:(1);解这是一个等比级数,公比为,于是,所以此级数收敛.(2);解此级数

2、是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数也收敛,矛盾.(3);解因为级数的一般项,所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散.(4);解这是一个等比级数,公比,所以此级数发散.(5).解因为和都是收敛的等比级数,所以级数是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:(1);解因为,而级数发散,故所给级数发散.(2);解因为,而级数发散,故所给级数发散.(3);解因为,而级数收敛,故所给级数收敛.(4);解因为,而级数收敛,故所给级数收敛.(5).解因为,而当a>1时级数收

3、敛,当01时收敛,当0a时级数发散.4.判定下列级数的收敛性:(

4、1);解这里,因为,所以级数收敛.(2);解这里,因为,所以级数收敛.(3);解因为,而级数发散,故所给级数发散.(4);解因为,所以级数收敛.(5);解因为,所以级数发散.(6).解因为,而级数发散,故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？(1);解这是一个交错级数,其中.因为显然un³un+1,并且,所以此级数是收敛的.又因为是p<1的p级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.(2);解.因为,所以级数是收敛的,从而原级数收敛,并且绝对收敛.(3);解这是交错

5、级数,并且.因为级数是收敛的,所以原级数也收敛,并且绝对收敛.(4);解这是交错级数,其中.因为un³un+1,并且,所以此级数是收敛的.又因为,而级数发散,故级数发散,从而原级数是条件收敛的.(5).解级数的一般项为.因为,所以级数发散.习题11-31.求下列幂级数的收敛域:(1)x+2x2+3x3+×××+nxn+×××;解,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是发散的;当x=-1时,幂级数成为,也是发散的,所以收敛域为(-1,1).(2);解,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数

6、成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1,1].(3);解,故收敛半径为R=+¥,收敛域为(-¥,+¥).(4);解,故收敛半径为R=3.因为当x=3时,幂级数成为,是发散的;当x=-3时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-3,3).(5);解,故收敛半径为.因为当时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为.(6);解这里级数的一般项为.因为,由比值审敛法,当x2<1,即

7、x

8、<1时,幂级数绝对收敛;当x2>1,即

9、x

10、>1时,幂级

11、数发散,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1,1].(7);解这里级数的一般项为.因为,由比值审敛法,当,即时,幂级数绝对收敛;当,即时,幂级数发散,故收敛半径为.因为当时,幂级数成为,是发散的,所以收敛域为.(8).解,故收敛半径为R=1,即当-1

12、x-5

13、>1时级数发散.因为当x-5=-1,即x=4时,幂级数成为,是收敛的;当x-5=1,即x=6时,幂级数成为,是发散的,所以收敛域为[4,6).2

14、.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:(1);解设和函数为S(x),即,则.(2);解设和函数为S(x),即,则.提示:由得.(3).解设和函数为S(x),即,则.提示:由得.习题11-41.求函数f(x)=cosx的泰勒级数,并验证它在整个数轴上收敛于这函数.解(n=1,2,×××),(n=1,2,×××),从而得f(x)在x0处的泰勒公式.因为(0£q£1),而级数总是收敛的,故,从而.因此,xÎ(-¥,+¥).2.将下列函数展