资源描述：
《高等数学课后习题及参考答案(第十章)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题10-11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为m(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;(2)这曲线弧的重心坐标,.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIx=y2m(x,y)ds,dIy=x2m(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为,.曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dMx=ym(x,y)ds,dMy=xm(x,y)ds.曲线L的重心坐标为,
2、.2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则.证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则.令l=max{Dsi}®0,上式两边同时取极限,即得.3.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中L为圆周x=acost,y=asint(0£t£2p);解=.(2),其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;解L的方程为y=1-x(0£x£1);.(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;解L1:y=x2(0£x£1),L2:y=x(0£x£1)..(4),其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所
3、围成的扇形的整个边界;解L=L1+L2+L3,其中L1:x=x,y=0(0£x£a),L2:x=acost,y=asint,L3:x=x,y=x,因而,.(5),其中G为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧;解,.(6),其中G为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2);解G=AB+BC+CD,其中AB:x=0,y=0,z=t(0£t£1),BC:x=t,y=0,z=2(0£t£3),CD:x=1,y=t,z=2(0£t£3),故.(7),其中L为摆线的一拱x=a(t-sint),y
4、=a(1-cost)(0£t£2p);解.(8),其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0£t£2p).解.4.求半径为a,中心角为2j的均匀圆弧(线密度m=1)的重心.解建立坐标系如图10-4所示,由对称性可知,又,所以圆弧的重心为5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0£1£2p,它的线密度r(x,y,z)=x2+y2+z2,求:(1)它关于z轴的转动惯量Iz;(2)它的重心.解.(1).(2),,,,故重心坐标为.习题10-21.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:.证明设L是直线x=a上由(a,b
5、1)到(a,b2)的一段,则L:x=a,y=t,t从b1变到b2.于是.2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到(b,0)的一段直线,证明.证明L:x=x,y=0,t从a变到b,所以.3.计算下列对坐标的曲线积分:(1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;解L:y=x2,x从0变到2,所以.(2),其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解L=L1+L2,其中L1:x=a+acost,y=asint,t从0变到p,L2:x=x,y=0,x从0变到2a,因此.(3),其中L为圆周x=Rc
6、ost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;解.(4),其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);解圆周的参数方程为:x=acost,y=asint,t从0变到2p,所以.(5),其中G为曲线x=kq,y=acosq,z=asinq上对应q从0到p的一段弧;解.(6),其中G是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;解G的参数方程为x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t从0变到1..(7),其中G为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);解G=AB+BC+CA,其中AB:x=x,y=1-x,z=0,x从1变到0
7、,BC:x=0,y=1-z,z=z,z从0变到1,CA:x=x,y=0,z=1-x,x从0变到1,故.(8),其中L是抛物线y=x2上从(-1,1)到(1,1)的一段弧.解L:x=x,y=x2,x从-1变到1,故4.计算,其中L是:(1)抛物线y=x2上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;解L:x=y2,y=y,y从1变到2,故.(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;解L:x=3y-2,y=y,y从1变到2,故(3)先沿直线从点(1,1)到(1,2
