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1、高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-11.试说出下列各微分方程的阶数:(1)x(y¢)2-2yy¢+x=0;解一阶.(2)x2y¢-xy¢+y=0;解一阶.(3)xy¢¢¢+2y¢+x2y=0;解三阶.(4)(7x-6y)dx+(x+y)dy=0;解一阶.(5);解二阶.(6).解一阶.2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy¢=2y,y=5x2;解y¢=10x.因为xy¢=10x2=2(5x2)=2y,所以y=5x2是所给微分方程的解.(2)y¢+y=0,y=3sinx-4co
2、sx;解y¢=3cosx+4sinx.因为y¢+y=3cosx+4sinx+3sinx-4cosx=7sinx-cosx¹0,所以y=3sinx-4cosx不是所给微分方程的解.(3)y¢¢-2y¢+y=0,y=x2ex;解y¢=2xex+x2ex,y¢¢=2ex+2xex+2xex+x2ex=2ex+4xex+x2ex.因为y¢¢-2y¢+y=2ex+4xex+x2ex-2(2xex+x2ex)+x2ex=2ex¹0,所以y=x2ex不是所给微分方程的解.(4)y¢¢-(l1+l2)y¢+l1l2y=0,.
3、解,.因为=0,所以是所给微分方程的解.3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x-2y)y¢=2x-y,x2-xy+y2=C;解将x2-xy+y2=C的两边对x求导得2x-y-xy¢+2yy¢=0,即(x-2y)y¢=2x-y,所以由x2-xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy-x)y¢¢+xy¢2+yy¢-2y¢=0,y=ln(xy).解将y=ln(xy)的两边对x求导得,即.再次求导得.注意到由可得,所以,从而(xy-x)y¢¢+xy¢2+yy¢-2
4、y¢=0,即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初始条件:(1)x2-y2=C,y
5、x=0=5;解由y
6、x=0=0得02-52=C,C=-25,故x2-y2=-25.(2)y=(C1+C2x)e2x,y
7、x=0=0,y¢
8、x=0=1;解y¢=C2e2x+2(C1+C2x)e2x.由y
9、x=0=0,y¢
10、x=0=1得,解之得C1=0,C2=1,故y=xe2x.(3)y=C1sin(x-C2),y
11、x=p=1,y¢
12、x=p=0.解y¢=C
13、1cos(x-C2).由y
14、x=p=1,y¢
15、x=p=0得,即,解之得C1=1,,故,即y=-cosx.5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y=y(x),则曲线上点(x,y)处的切线斜率为y¢,由条件y¢=x2,这便是所求微分方程.(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解设曲线为y=y(x),则曲线上点P(x,y)处的法线斜率为,由条件第PQ中点的横坐标为0,所以Q点的坐标为(-x,0),从而有
16、,即yy¢+2x=0.6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比,所温度的平方成反比.解,其中k为比例系数.习题12-21.求下列微分方程的通解:(1)xy¢-ylny=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(lny)=lnx+lnC,故通解为y=eCx.(2)3x2+5x-5y¢=0;解分离变量得5dy=(3x2+5x)dx,两边积分得,即,故通解为,其中为任意常数.(3);解分离变量得,两边积分得即arcsiny=arcsinx+C,故通解为y=sin(arcsinx+C)
17、.(4)y¢-xy¢=a(y2+y¢);解方程变形为(1-x-a)y¢=ay2,分离变量得,两边积分得,即,故通解为,其中C=aC1为任意常数.(5)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(tany)=-ln(tanx)+lnC,故通解为tanxtany=C.(6);解分离变量得10-ydy=10xdx,两边积分得,即,或10-y=10x+C,故通解为y=-lg(C-10x).(7)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0;解方程变形为ey(ex+1)d
18、y=ex(1-ey)dx,分离变量得,两边积分得,即-ln(ey)=ln(ex+1)-lnC,故通解为(ex+1)(ey-1)=C.(8)cosxsinydx+sinxcosydy=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(siny)=-ln(sinx)+lnC,故通解为sinxsiny=C.(9);解分离变量得(y+1)2dy=-x3dx,两边积分得,即,故通解为4(y+1)3+3x4=C(C=12C
