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时间:2018-11-08
《高等数学-课后习题答案第十二章》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题十二1.写出下列级数的一般项:(1);(2);(3);解:(1);(2);(3);2.求下列级数的和:(1);(2);(3);解:(1)从而因此,故级数的和为(2)因为从而所以,即级数的和为.(3)因为从而,即级数的和为.3.判定下列级数的敛散性:(1);(2);(3);(4);解:(1)从而,故级数发散.(2)从而,故原级数收敛,其和为.(3)此级数为的等比级数,且
2、q
3、<1,故级数收敛.(4)∵,而,故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1);(2);(3).解:(1)当P为偶
4、数时,当P为奇数时,因而,对于任何自然数P,都有,∀ε>0,取,则当n>N时,对任何自然数P恒有成立,由柯西审敛原理知,级数收敛.(2)对于任意自然数P,都有于是,∀ε>0(0<ε<1),∃N=,当n>N时,对任意的自然数P都有成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.(3)取P=n,则从而取,则对任意的n∈N,都存在P=n所得,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1);(2)(3);(4);(5);(6).解:(1)∵而收敛,由比较审敛法知收敛.(2)∵而发散,由比较审敛法
5、知,原级数发散.(3)∵而收敛,故也收敛.(4)∵而收敛,故收敛.(5)当a>1时,,而收敛,故也收敛.当a=1时,,级数发散.当01时,原级数收敛,当06、a(n→∞),an,b,a均为正数.解:(1),故原级数发散.(2),故原级数收敛.(3),故原级数收敛.(4),当ba时,>1,原级数发散;当b=a时,=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1),级数是交错级数,且满足,,由莱布尼茨判别法级数收敛,又是P<1的P级数,所以发散,故原级数条件收敛.(2),为交错级数,且,,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于所以,发散,所以原7、级数条件收敛.(3)民,显然,而是收敛的等比级数,故收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为.故可得,得,∴,原级数发散.(5)当α>1时,由级数收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数满足条件:;,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,,所以原级数发散.(6)由于而发散,由此较审敛法知级数发散.记,则即又由知,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1),x∈[-3,3];(2),x∈[0,1];(3),x∈(8、-∞,+∞);(4),9、x10、<5;(5),x∈(-∞,+∞)解:(1)∵,x∈[-3,3],而由比值审敛法可知收敛,所以原级数在[-3,3]上一致收敛.(2)∵,x∈[0,1],而收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.(3)∵,x∈(-∞,+∞),而是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.(4)因为,x∈(-5,5),由比值审敛法可知收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)∵,x∈(-∞,+∞),而是收敛的P-级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何11、自然数n.都有12、Un(x)13、≤Vn(x),则当在Ⅰ上一致收敛时,级数在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由在Ⅰ上一致收敛知,∀ε>0,∃N(ε)>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有14、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)15、<ε,于是,∀ε>0,∃N(ε)>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有16、Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)17、≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤18、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)19、<ε,因此,级数在区间Ⅰ上处处收敛,由x的任意性和与x的无关20、性,可知在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…;(2);(3);(4);解:(1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为所以收敛半径,收敛区间为(-e,e).当x=e时,级数变为;应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次
6、a(n→∞),an,b,a均为正数.解:(1),故原级数发散.(2),故原级数收敛.(3),故原级数收敛.(4),当ba时,>1,原级数发散;当b=a时,=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1),级数是交错级数,且满足,,由莱布尼茨判别法级数收敛,又是P<1的P级数,所以发散,故原级数条件收敛.(2),为交错级数,且,,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于所以,发散,所以原
7、级数条件收敛.(3)民,显然,而是收敛的等比级数,故收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为.故可得,得,∴,原级数发散.(5)当α>1时,由级数收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数满足条件:;,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,,所以原级数发散.(6)由于而发散,由此较审敛法知级数发散.记,则即又由知,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1),x∈[-3,3];(2),x∈[0,1];(3),x∈(
8、-∞,+∞);(4),
9、x
10、<5;(5),x∈(-∞,+∞)解:(1)∵,x∈[-3,3],而由比值审敛法可知收敛,所以原级数在[-3,3]上一致收敛.(2)∵,x∈[0,1],而收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.(3)∵,x∈(-∞,+∞),而是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.(4)因为,x∈(-5,5),由比值审敛法可知收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)∵,x∈(-∞,+∞),而是收敛的P-级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何
11、自然数n.都有
12、Un(x)
13、≤Vn(x),则当在Ⅰ上一致收敛时,级数在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由在Ⅰ上一致收敛知,∀ε>0,∃N(ε)>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有
14、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)
15、<ε,于是,∀ε>0,∃N(ε)>0,使得当n>N时,∀x∈Ⅰ有
16、Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)
17、≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤
18、Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)
19、<ε,因此,级数在区间Ⅰ上处处收敛,由x的任意性和与x的无关
20、性,可知在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…;(2);(3);(4);解:(1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为所以收敛半径,收敛区间为(-e,e).当x=e时,级数变为;应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次
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