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1、高等数学（下）习题七1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z
2、=0;z轴上的点，x=y=0.4.求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）(2)(3)(4).5.求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故.6.在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则101解得即所求点为M（
3、0，0，）.7.试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为
4、AB
5、=
6、AC
7、=7.且有
8、AC
9、2+
10、AB
11、2=49+49=98=
12、BC
13、2.故△ABC为等腰直角三角形.8.验证：.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19.设试用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,,和.解：11.设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为，则12.一向
14、量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z)，则101解得x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).13.一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1）在各坐标轴上的投影；（2）的模；（3）的方向余弦；（4）方向的单位向量.解：（1）(2)(3).(4).14.三个力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+
15、3-4，3-4+5）=（2，1，4）15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a,b,c.解：10116.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17.向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er.解：因,故,（舍去）则.18.已知两点M1
16、（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且，求向径的坐标.解：设向径={x,y,z}因为，所以，故={}.19.已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，的方向余弦是，求点P的坐标.解：设P的坐标为（x,y,z）,得101又故点P的坐标为P（2，3，6）或P（）.20.已知a,b的夹角，且，计算：(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=(2)21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：（1）a·b;(2)(2a-3b)·(a+b)；（3）解：（1）(2)(3)22.已知
17、四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：={3，-2，-6}，={6，2，3}23.设重量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m）.101解：取重力方向为z轴负方向，依题意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解:(a+3b
18、)·(7a-5b)=①(a-4b)·(7a-2b)=②由①及②可得：又，所以,故.25.一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x,y,z)因,故.即2(x-
