高等数学课后习题答案,同济版高等数学课后习题答案

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1、.页眉.高等数学课后习题答案,同济版高等数学课后习题答案  习题8-1  1.设有1个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为μ=μ(x,y)的电荷,且μ(x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.  解用一组曲线将D分成n个小闭区域Δσi,其面积也记为Δσi(i=1,2,??,n).任取一点  (ξi,ηi)∈Δσi,则Δσi上分布的电量ΔQ≈μ(ξi,ηi)Δσi.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为  Q=lim∑μ(ξi,ηi)Δσi=∫∫μ(x,y)dσ,  λ→0  i=1  D  n  其中λ=max{Δσi的直径}.  1≤i≤n

2、  2.设I1=∫∫(x2+y2)3dσ其中D1={(x,y)?1≤x≤1,?2≤y≤2};又I2=∫∫(x2+y2)3dσ  D1  D2  其中D2={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系.页脚..页眉.  顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω1的解由二重积分的几何意义知,I1表示底为D1、  体积;I2表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω2的体积.由于位于D1上方的曲面z=(x2+y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将Ω1分成4个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为Ω2.由此可知I1=4I2. 

3、 3.利用二重积分定义证明:(1)∫∫dσ=σ  D  (其中σ为D的面积);  (其中k为常数);  1  2  (2)(∫∫kfx,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ  D  D  (3)  ∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,其中D=D∪D  D  D1  D2  ,D1、D2为2个无公共  内点的闭区域.  证(1)由于被积函数f(x,y)≡1,故由二重积分定义得页脚..页眉.  ∑f(ξ,η)Δσ∫∫dσ=limλ  D  →0  i  i  i=1  n  n  i  =lim∑Δσi=limσ=σ.  λ→0  i=1  n  λ→0  (2)∫∫kf

4、(x,y)dσ=lim∑kf(ξi,ηi)Δσi=klim∑f(ξi,ηi)Δσi=k∫∫f(x,y)dσ.  D  n  λ→0  i=1  λ→0  i=1  D页脚..页眉.  (3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D时,可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。这样f(x,y)在  D1∪D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和,记为  D1∪D2  ∑f(ξi,ηi)Δσi=∑f(ξi,ηi)Δσi+∑f(ξi,ηi)Δσi.  D1  D2  令所有Δσi的直径的最大值λ→0,上式两端同时取极限,即得  D1∪

5、D2  ∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ.  D1  D2  4.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:  (1)∫∫(x+y)2dσ与∫∫(x+y)3dσ,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所  D  D  围成;  (2)成;  ∫∫(x+y)dσ与∫∫(x+y)dσ,其中积分区域D是由圆周(x?2)  D  D页脚..页眉.  232  +(y?1)2=2所围  (3)  ∫∫ln(x+y)dσ  D  与  ∫∫[ln(x+y)]dσ  D  2  ,其中D是三角形闭区域,三顶点分别为  (1,0),(1,1),(2,0);  (4)∫∫ln

6、(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]2dσ,其中D={(x,y)3≤x≤5,0≤y≤1}.  D  D  解(1)在积分区域D上,0≤x+y≤1,故有(x+y)3≤(x+y)2,根据二重积分的性质4,可得∫∫(x+y)3dσ≤∫∫(x+y)2dσ.  D  D  故在D上有(x+y)2≤(x+y)3.从(2)由于积分区域D位于半平面{(x,y)

7、x+y≥1}内,而∫∫(x+y)2dσ≤∫∫(x+y)3dσ.  D  D页脚..页眉.  (3)由于积分区域D位于条形区域{(x,y)

8、1≤x+y≤2}内,故知D上的点满足0≤ln(x+y)≤1,从而有[ln(x+y)]2≤ln(x+y).因此∫∫

9、[ln(x+y)]2dσ≤∫∫ln(x+y)dσ.  D  D  (4)由于积分区域D位于半平面{(x,y)

10、x+y≥e}内,故在D上有ln(x+y)≥1,从而有[ln(x+y)]2≥ln(x+y).因此∫∫[ln(x+y)]2dσ≥∫∫ln(x+y)dσ.  D  D  5.利用二重积分的性质估计下列积分的值:  (1)I=∫∫xy(x+y)dσ其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1};  

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