同济版-高等数学-课后习题解析

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1、书后部分习题解答P21页3．（3）（）知识点：1）等比级数求和（共n项）2）用P14例4的结论：当时，解：5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：设为正常数，，证：由题意，，（数列有下界）又（因）（数列单调减少）由单调有界定理，此数列收敛；记，对两边取极限，得，解得（负的舍去），故此数列的极限为.P35页4.（8）极限(若以后学了洛必达法则（型未定型），则）书后部分习题解答2P36页8.已知当时，，求常数.知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。解：由题意：得或（根式有理化）P42页3（4）关于间断点：

2、为第二类间断点说明：不存在（在的过程中，函数值不稳定，不趋向与）P43页7（1）证明方程在内必有一实根。知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理证明：设，易知，在上连续；（注:设函数，闭区间），，故由根的存在定理，至少在内存在一点，使，即方程在内必有一实根.P61页3.设存在，求：（1）（2）（3）分析：因存在，则极限的值为。把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式解：（1）（2）（3）8.用导数的定义求在处的导数.（可参看P51例1-2）知识点：1）导数在一点处的定义：；2）点处的左右导数的定义与记号：左导数右导数3）分段函数在分界点（具体的点）处的

3、导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。解：因（先写出处的函数值）又（在处的左导数定义）（在处的右导数定义）而10.设函数，为了使函数在处连续且可导，应取什么值？题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。解：由题意，函数在处连续，则，即，得又函数在处可导，则而（用到了）故书后部分习题解答3（关于隐函数求导）P62页14．设，求.分析：1）隐函数求导；2）由代入方程要求出的值。解：方程两边对求导：得：又由代入方程，得，所以：20.已知，求，.要点：求隐函数二阶导数的方法。解：方程两边对求导：（1）把代入式（1），解得（或由式（1）解得：（2）再把点代入得）（求隐

4、函数二阶求导的方法）方法1：式（1）两边对求导，（记，）把，代入，得（代入：）方法2：式（2）对求导：，点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可.P62页15题.利用对数求导法求导（3）说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简.解：取对数：（化简）两边对求导：所以：（代入）书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）P82页1．检验罗尔定理对函数是否成立？分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；2）若符合，是否存在？解：易知在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且，故符合罗尔定理的条件。又由，得，故有，符合罗

5、尔定理的结论.故罗尔定理对函数成立。4.(3)证：证：设，当时，等式成立；若，则易知在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理存在，使取绝对值，得同理，可证综合：有6.设函数在闭区间[1,2]上可微，证明：，其中.提示：对，用柯西中值定理.8.证明：，其中.题型：证明函数为常数；用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若，则.()证明：设，则，整理，当，，故，又所以：，当.P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）2（3）解：（用到连续性与极限的运算，相当于代入）（5）解：（整理，等价无穷小的代换）3.（2）（函数差的极限，一定要整理成函

6、数商的极限）解：=（用了等价无穷小的代换）4.（3）（幂指函数的极限）解：=先求（用到，时，，无穷大量的倒数为无穷小）故（4）解：而(用到，)故7.试确定常数，使得.解：因，又，上式分母，且极限存在，则必须分子得；则=，得书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）P82页1．检验罗尔定理对函数是否成立？分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；2）若符合，是否存在？解：易知在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且，故符合罗尔定理的条件。又由，得，故有，符合罗尔定理的结论.故罗尔定理对函数成立。4.(3)证：证：设，当时，等式成立；若，则易

7、知在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理存在，使取绝对值，得同理，可证综合：有6.设函数在闭区间[1,2]上可微，证明：，其中.提示：对，用柯西中值定理.8.证明：，其中.题型：证明函数为常数；用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若，则.()证明：设，则，整理，当，，故，又所以：，当.P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）2（3）解：（用到连续性与极限的运算，相当于代入）（5）解：（整理，等价无穷小的代换）3.（2）（函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）解：=（用了等价无穷小的代换）4.（3）（幂指函数的极限）解：=先求（

8、用到，时，