高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版

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1、高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A、B是两个事件，那么A·B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.P(A·B)＝P(A)·P(B)(1)证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A

2、与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1·N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有m1·m2种.因此得：P(AB)＝＝·∴P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A1A2……An)＝P(A1)P(A2)…P(An)即：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积

3、.值得注意的是：①事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验

4、中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率Pn(k)＝CnkPk(1-P)n-kPn(k)＝CnkPk(1-p)n-k可以看成二项式［(1-p)+p］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是()A.2-P1-P

5、2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件，而P()＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，这样，P()＝1-P1-P2+P1P2.故选C.解法二：记号同解法一，所求事件为，由于与独立，故P()＝P()·P()＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射

6、击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·，A··C，·B·C分别发生，而这3

7、种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A··，·B·，··C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A··)+P(·B·)+P(··C)＝P(A)·P()·P()+P()·P(B)+P()+P()·P()·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0

8、.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.