高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版

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1、高二数学简单的线性规划知识精讲人教版一.本周教学内容：简单的线性规划二.重点、难点：1.二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。注意：在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时画成实线。（4）区域判断方法是：特殊点法。2.线性规划：（1）约束条件、线性约

2、束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。如果解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。（4）可行域：满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做

3、这个问题的最优解。3.解线性规划应用问题的一般方法和步骤：（1）理清题意，列出表格。（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。（3）准确作图，准确计算。【典型例题】例1.解：小结：由于对在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点（x，y），实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点（x0，y0），把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0（或＜0）表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点。此题也可先把不等式－x＋2y－4＜0化为x－2y＋4＞0，因为A＞0

4、，B＜0，所以x－2y＋4＞0表示直线x－2y＋4＝0右下方的平面区域。例2.解：不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合。不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合。不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合。不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合。综上可得：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分。小结：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分，在画这一部分区域时应注意其边界的虚实。例3

5、.侧的任意两点，M1、M3（x3，y3）为直线l同侧的任意两点，求证：证明：（2）∵M3、M1在l同侧，而M1、M2在l异侧，故M3、M2在l异侧，利用（1）得：小结：此例从理论上证明了二元一次不等式Ax＋By＋C＞0，在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。例4.分析：原不等式等价于不等式组作出以上不等式组所表示的平面区域，求出面积为2。解：原不等式等价于不等式组2例5.解下列线性规划问题：求z＝2x＋y的最大值和最小值，式中的x、y满足约束分析：（1）画出可行域；（2）在可行域内

6、找到最优解所对应的点；（3）解方程的最优解，求出目标函数的最大值、最小值。解：先作出可行域，如图中△ABC表示的区域，且求得例6.值：分析：同上例，同时应注意到x，y均为整数。解：（1）先作出可行域，如图中△ABC表示的区域，且求得最优解。注意：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得。（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义。例7.某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石

7、4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么小结：解线性规划应用问题的一般方法和步骤：（1）理清题意，列出表格；（2）设好变元并列出不等式组和目标函数；（3）准确作图，准确计算。例8.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规

8、格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则且x，y都是整数，求目标函数z＝x＋y取得最小时的x、y的值。可得x＝3，y＝9和x＝4，y＝8。小结：本题寻找整点最优解的方法是利用平移