高二数学简单的线性规划知识精讲（通用）.doc

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1、高二数学简单的线性规划【本讲主要内容】简单的线性规划二元一次不等式表示的平面区域，线性规划的意义。【知识掌握】【知识点精析】1、二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）。由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点()，把它的坐标（）代入Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0），从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域（特

2、殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。2、线性规划若对于变量x、y的约束条件都是关于x、y的一次不等式，可称其为线性约束条件。z＝f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数。当z＝f(x,y)是关于x、y的一次解析式时，z＝f(x,y)叫做线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做最

3、优解。【解题方法指导】例1.画出不等式组表示的平面区域。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式－y＋5≥0表示直线－y＋5＝0上及右下方的点的集合，＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域。例2.已知x、y满足不等式,求z＝3x＋y的最小值。分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x＋y＝0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值

4、。解：不等式x＋2y≥2，表示直线x＋2y＝2上及右上方的点的集合；不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及右上方的点的集合。可行域如图所示：作直线:3x＋y＝0，作一组与直线平行的直线:3x＋y＝t,(t∈R)。∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标。由图可知：当直线:3x＋y＝t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin＝1。所以zmax＝2×2－1＝3。评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的

5、：解决这类问题的思路和方法：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解例3.某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0

6、.1t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么目标函数为：z＝600x＋1000y。作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。作直线:600x＋1000y＝0，即直线l:3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋1000y取最大值。解方程组得M的坐标为x＝≈12.4,y＝≈34.4。答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大。【考

7、点突破】【考点指要】线性规划属于新添内容，也是出题的重点，通常是一个选择题或填空题，分值5分。偶尔出大题，如：04年江苏出了一个大题，19题，分值12分。【典型例题分析】例4.（’06高考安徽，10）如果实数x、y满足条件那么2x－y的最大值为A.2B.1C.－2D.－3解：根据约束条件作出可行域，作直线l0:2x－y＝0的平行线l：，当直线过点（0，－1）时，最大，故选B。点评：本题考查了线性目标函数在约束条件下的最大值问题，是高考热点。例5.（’03南开中学检测四月，18）某运输队在一段时间

8、内，每天至少要把180件货物运到某地，该运输队使用甲、乙两种型号的货车，甲型车能装运20件货物，乙型车能装运30件货物。现运输队有甲型车5辆、乙型车5辆，但是只有9个司机工作，货车每天只能开一次，每辆都满载，试问：（I）运输队如何调度货车，以适应运输的需要？（II）最少需要多少个司机？（III）最多能运多少件货物？解：（Ⅰ）设每天甲型车开x辆，乙型车y辆，运输z件货物，则且z＝20x＋30y,所以（x，y）可取（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4），即