高二数学导数（续）苏教版知识精讲（通用）.doc

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1、高二数学导数（续）苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：导数（续）二.教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法2.通过实例，了解函数的单调性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值与导数的关系。3.体会定积分的基本思想和内涵，初步了解定积分的概念。三.知识要点：（一）导数在研究函数中的应用1.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)为这个区

2、间内的减函数。（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间2.极值点（1）极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y=f(x0)，x0是极大值点。（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一

3、个极小值，记作y=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值。注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端

4、点。判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。（v）求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)（2）求方程f′(x)=0的根（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取

5、得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。3.最值（1）函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象。图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是。注意：（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有。2.利用导数求函数的最值步骤:设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较

6、得出函数在上的最值。（二）定积分定义：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为△x，（），在每个小区间上取一点，依次为，作和，如果△x无限趋于0，无限趋于常数S，那么称S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为定积分的几何意义是：在区间[a,b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和（即x轴上方的面积减去x轴下方的面积）【典型例题】例1.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′

7、=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数例2.证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数。证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x

8、1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些。如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例3.求y=x3－4x+4的极值。解：y′=(x3－4