高二数学二次函数苏教版知识精讲（通用）.doc

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1、高二数学二次函数苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：二次函数教学目标：1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用2.能利用二次函数的零点研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值教学重点：二次函数性质的运用。教学难点：二次函数性质与分类讨论的思想方法。二、知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。2

2、.二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3.根的分布问题：一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f（x）=ax2+bx+c（a>0）（1）x1<α，x2<α，则；（2）x1>α，x2>α，则（3）αb（α

3、问题：二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[α，b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：（1）对称轴x=-在区间左边，函数在此区间上具有单调性；（2）对称轴x=-在区间之内；（3）对称轴x=-在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响1）讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向。2）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①f（x）=ax2+bx+

4、c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0（<0）的解集为或者是R；②f（x）=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0（<0）的解集为或者是R；③f（x）=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0（<0）的解集为或者是。【典型例题】例1.（2020年湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存

5、在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（B）A.0B.1C.2D.3解：选B。本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0

6、根时，即，此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B。例2.已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式。解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，，∴例3.已知函数的最大值为，求的值。分析：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题。解：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍去）（2）当，即时，函数在上单调递增，由，得。（3）当，即时，

7、函数在上单调递减，由，得（舍去）。综上可得：的值为或。变：若求函数的最小值要分几种情况讨论。例4.已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得。解法二：由题知或，得。解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或。∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为。例5.设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值。解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令从而知（2）由即，∴又因为（3）当由解

8、得点评注意：且，这是用不等式证明等式的有效方法，很值得重视。例6.（2020年上海春卷）设函数.（1）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；（2）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.解：（1）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.由于.（2）解法一：当时，.，.又，①当，即时，取，.，则.②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.解法二：当时，.由得，令，解得或，在区间上