高三数学导数知识精讲 苏教版

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1、高三数学导数知识精讲一、本周教学内容：导数二、本周教学目标：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3.理解导函数的概念熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则5.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数6.理解可导函数的单调性与其导数的关系；7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；8.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、本周知识要点

2、：1.导数的定义：设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即。2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点处可导，则曲线在点（）处的切线方程为。3.导函数(导数)：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。4.可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。5.求函数的导

3、数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝6.常见函数的导数公式：；；；；；；7.和差的导数：8.积的导数：，9.商的导数：【典型例题】例1.若f′（x0）=2，求分析：根据导数的定义解：f′（x0）=（这时Δx=－k）∴=［－·］=－·=－f′（x0）=－1点评：注意f′（x0）=中Δx的形式的变化，在上述变化中可以看到Δx=－k，k→0－k→0。∴f′（x0）=所以还可以写成f′（x0）=或f’（x0）=等例2.若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a

4、处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数。分析：（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性。（1）解：设f（－x）=g（x），则g′（a）===－=－f’（－a）∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数（2）证明：f′（－x）===－=－f′（x）∴f′（x）为奇函数点评：用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致。例3.求下列函数的导数

5、：（1）y=x2sinx；（2）y=ln（x＋）；（3）y=；（4）y=解：（1）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=（3）y′==（4）y′===例4.（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。　　解：（1）　　，即曲线在点（1，1）处

6、的切线斜率k=0　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1　　（2）　　例5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程。解：∵切线与直线平行，∴斜率为4又切线在点的斜率为∵，∴或∴切点为（1，－8）或（－1，－12）切线方程为或即或小结：1.求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求的值。（2）利用导函数的函数值，即先求函数f（x）在开区间（a，b）内的导函数f′（x），再将x0（x0∈（a，b））代入导函数f（x），得函数值f′（x0）。2.在解导

7、数题时，要理解导数的概念，熟记基本函数的导数和导数的运算法则，然后根据基本函数确定使用什么方法求解。【模拟试题】1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+Δx，2+Δy），则为A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－2.设函数f（x）在x=x0处可导，则A.与x0，h都有关B.仅与x0有关而与h无关C.仅与h有关而与x0无关D.与x0、h均无关3.设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于A.B.C.D.4.曲线y=x3－3x2+1在点（1

8、，－1）处的切线方程为A.y=3x－4B.y=－3x+2C.y=－4x+3D.y=4x－55.函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于A.1B.2C.3D.46.已知函数f（x）在x=1处的导数为3，则f（x）的解析式可能为A.f（x）=（x－1）2+3（x－1）B.f（x）=2（x－1）C.f（x）=2（x－1）2D.f（x）=x－17.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°，则点A的坐标为___________。8.曲线y=2－x2与y=x3－2在交点