高二数学球知识精讲 人教版

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1、高二数学球知识精讲人教版【基础知识精讲】1.球的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径.连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.如图的球中，O是球心，线段OC是半径，线段AB是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.球面可以看作空间内到定点(球心)的距离等于定长的点的集合，球则可以看作空间内到空点(球心)的距离小于或等于定长(半径)的点的集合.2.球的性质用一个平面去截一个球，截面

2、是圆面，其截面有如下性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r,有下面的关系：r＝球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.(3)经过球面上不是同一条直径的两端点的两个点，可以且只可以作一个大圆.(4)同一个球的大圆相等.(5)球的大圆平分这个球.(6)球的任意两个大圆相互平分.画球时，一般画一个大圆，与一个辅助椭圆就足够了.3.经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天

3、文台所在半圆弧称为O°经线，也称为本初子午线.经线指的是某点与地轴形成半圆、圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角.注意：东西径180°经线重合，如图1.球面距指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离.如图2所示：NS为地轴，P所在经线为，设P点所在经线为0°经线，B所在经线为东径n度(n＝∠AOB)，P在北纬m度(m＝)要确

4、定Q在地球上的位置，必须知道Q的经度与纬度.4.球的面积和体积公式.定理球面面积等于它的大圆面积的4倍，S球面＝4πR2定理：如果球的半径为R，那么它的体积是V球＝πR3.【重点难点解析】多面体：旋转体与球的相切和相接问题，常成为高考的重点和热点，难点是球半径与多面体，旋转体的几何量的关系.例1已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是()A.4B.3C.2D.5解如图，设球的半径是r，则πBD2＝5π，πAC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设

5、OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3故选B.例2在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1-r)2，解得r＝.例3地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们

6、的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.分析本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题.解如图2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R∴AB2＝O1A2+O1B2＝R∴ΔAOB为等边Δ∴∠AOB＝，A、B间的球面距离为R.例4两面都是凸形镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21

7、cm，求此镜面的表面积和体积.解轴截面如图，设O2C＝x，则CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2∴AO22-O2C2＝AO12-CO12，即102-x2＝172-(21-x)2，解得x＝6,CO1＝15,又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2，则h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V＝π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm3).例5正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.解如图，PD是三棱锥

8、的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.例6求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如图，即Sh＝4×S