高二数学数列知识精讲 人教版

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1、高二数学数列知识精讲人教版一.本周教学内容：数列的概念，两种特殊数列——等差数列、等比数列以及数列的极限等内容的复习与综合提高。二.重点、难点：1.利用数列的递推关系式求数列的通项公式。2.等差数列、等比数列的性质的综合运用。3.数列的求和问题。4.数列极限的运算。例1.求满足下列条件的数列{an}的通项公式。解：例2.求下列数列的通项公式。解：（1）由已知等式得把以上(n－1)个等式左右分别相加，得例3.设{an}是首项为1的正项数列，且满足解：由已知等式，得把以上这（n－1）个等式左右分别相乘，得注：以上的

2、三个例题都是根据数列的递推关系式来求出数列的通项公式，其方法是通过对递推关系式变形，转化为另一个与{an}相关的等差或等比数列{bn}，写出这个数列的通项公式，从而就可求出an的表达式；或者利用若干个结构相同的式子相迭加（如例2（2））或相迭乘（如例3）而求出通项公式。例4.等差数列中，分析：注意到已知条件等式的整齐性，经配对后，可分为五对相邻的项，而相邻项之差为d或－d，于是两式相减，可得到关于d的方程，求出d；若两等式相加，可得S10的值；若能找出S20与S10的关系，即可求出S20。解：由已知等式，可得例

3、5.{an}为等比数列，满足分析：注意到a2＋a3＋a4中的三项恰好是a1＋a2＋a3中三项的相邻项，因此若设{an}公比为q，则a2＋a3＋a4＝a1q＋a2q＋a3q＝(a1＋a2＋a3)q，把a1＋a2＋a3代入即可求出公比q，再进而求出首项a1，则数列{an}确定并清晰化。解：设{an}公比为q，则例6.首项为1，公比为q（q>0）的等比数列的前n项和为Sn，设分析：由a1＝1，公比为q，可利用等比数列的前n项和公式先表示出Sn，Sn+1，再求极限，但需要注意，当q≠1时，才能利用求和公式，而本题中的公

4、比q可能为1，也可能不为1，因此需分类讨论。解：（1）若q＝1，则例7.求和：分析：对于求和问题，需研究各加数所成数列的构成规律，这种规律通常由通项决定，因此应首先研究数列通项的构成。由两部分组成，一部分是常数1，而另一部分则是一个等比数列；，是等比数列，而另一部分是一常数列，因此对于(1)(2)，可采取分项重组再求和。，……求和时，显然，出现了正负消项的机会，因此可求和，因这种方法是把通项的一个分式裂成两个分式之差的形式，通常把这种求和方法称之为“裂项求和”；而对于(4)，其特征是每一项的系数1，2，3，……

5、，n成等差数列，而字母部分a，a2，a3，……，an，显然成一等比数列，故可采用推导等比数列的求和公式的方法——错位相减法求和。解：例8.试求抛物线y＝x2与x轴正半轴以及直线x＝1所围成的曲边三角形的面积。分析：如下图，直线x＝1与x轴交于A（1，0）与抛物线y＝x2交于点B（1，1），所求的曲边三角形为OAB，我们没有求这种三角形的公式，更谈不上什么经验。那么怎样思考呢？能不能先求出关于某个变量的曲边三角形OAB的近似值呢？不妨把OAn等分，设分点从左到右依次为A1，A2，……，An-1，过这些点做y轴平行

6、线与抛物线分别交于点B1，B2，……，Bn-1，则如此以来，曲边三角形OAB被分割成若干“条”，现在我们来计算以AkAk+1、AkBk为长、宽的矩形的面积之和Sn（1≤k≤n－1），则此和Sn的大小与分割的次数有关，即与n有关，它近似等于曲边三角形OAB的面积。若分点A1，A2，……，An-1无限增多，则Sn→曲边三角形OAB的面积S注：运用极限的知识可以解决一些初等方法难以解决的问题。此例是极限应用的一个简单例子，但它描述了高等数学中微积分的基本思想方法——“分割、求和、取极限”，求平面图形的面积或空间几何体

7、的体积。这就是我们为什么要在现阶段学习极限的概念以及四则运算法则的意义，目的是为进一步学习高等数学做一些思想准备。【模拟试题】一.填空题：1.设成等差数列，公差为5，则________2.为等差数列，且，则________3.为等差数列，且，则______4.等差数列中，，为其前n项和，且，则使取最小值时的n＝___________5.为等比数列，，则公比_______6.等比数列中，，，且公比为整数，则________7.等比数列前n项之和为，若，则公比的值为____8.若，则a的取值范围为_________

8、9.，则___________10.若，则________二.解答题：1.数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负，（1）求数列的公差；（2）求前n项和的最大值；（3）当，求n的最大值。2.若数列的前n项和为，求证：成等比数列。3.已知等比数列中，，前n项之和为，若，，试求的值。4.已知，求的值。5.设，曲线的方程为，当n取遍自然数时，求所有这些曲线在x轴上所截