高二数学数列 等差数列知识精讲 人教版

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1、高二数学数列等差数列知识精讲人教版一.本周教学内容：《代数》（下册）第六章“数列、极限、数学归纳法”的用法§6.1数列§6.2等差数列二.重点、难点：本章的第一个概念是数列，所谓数列，就是指按一定次序排列的一列数。这列数要有第一个数，然后依次排列，我们称这第一个数为数列的首项，记为a1，第n项记为an。通数列的定义告诉我们：数列可以看作是一个定义在自然数集上的函数，该函数的自变量是由自然数构成的项数n（或称为序号数），函数值是数列中的项an。若an与n之间的关系可用一个公式来表示，则称该公式为数列的通项公式，如数列2，4，6，8，10，数列按照项数，可分

2、为有穷数列、无穷数列；若按照相邻两项的大小变化，又可分为递增数列、递减数列、摆动数列，还可按照数列是否有界又可将数列分为有界数列、无界数列。我们经常会遇到如下问题：由数列的前几项来写出其通项公式，如一个数列的前三项这是因为从函数角度看，若已知函数在有限个自变量上的函数值，一般还不能确定该函数，除非还知道该函数的类型。以上这种由部分事物中含有的规律推广为全体事物都含此规律的思维方法即不完全归纳。显然，不完全归纳得到的结论未必正确，因为这样得到的结论有以偏概全之嫌。尽管如此，它却是我们发现重要结论的好方法。给出数列的方法除了给出通项公式外，有时也可给出描述该

3、数列的相邻若干项的关系本单元的重点是一类特殊的数列——等差数列。所谓等差数列，就是指这样的数列：公差。显然，一个等差数列是由首项a1和公差d唯一确定。因此只要已知a1、d，则可求出数列中任一项。（2）一个数列是等差数列的充要条件是其通项公式是关于n的一次函数。等差数列的前n项和公式：注：（1）Sn是n的二次函数。等差数列的性质：等差数列。以上各性质在解决某些题时有着重要的作用。三.学习要求：1.能正确理解数列、项、通项、前n项和等基本概念。2.能从所给数列的若干项，归纳出一个通项公式，培养自己由特殊到一般的归纳发现能力。3.掌握等差数列的定义、通项公式、

4、前n项和公式。4.会求两个数的等差中项，能利用等差数列的性质，解决有关等差数列的问题，增强自己优化解题过程的意识。【典型例题】例1.写出下列数列的一个通项公式：解：（1）注意到每一项皆为分数形式，故可分别观察分子数列、分母数列。发现：分子是从3开始由小到大变化的奇数；分母是2的方幂，从而可知该数列的一个通项公式为每一项皆为分数，且分母皆为2，分子是自然数的平方，故可知该数列的一个通项公式为（3）注意到每一项减去1，得到2，4，8，16，32，……，该数列的通项公式（4）每项都含1和一个分数，中间的符号是正负相间，分数的分母是由2开始的偶数，分子是由1开始

5、的奇数的平方，因此该数列的通项公式为（6）该数列可看作是由以下两个数列对应相加除以2得到的。1，1，1，1，1，1，……与1，-1，1，-1，1，-1，……例2.已知{an}为等差数列，a15=33，a45=153。问：217是该数列中第几项？解法1：（由已知条件，求出a1、d，再确定与217对应的项数n。）解法2：解法3：（利用等差数列的通项公式为一次函数的性质。）分析：注意到已知条件等式的下标6，9，12，15，有关系：6+15=9+12。解：注：此题也可转化为基本量a1、d来建立已知，所求的关系，方法稍显拙笨。不如上述解法巧妙。求S20。分析：观察

6、后发现，已知的二等式左侧项数相同，且对应的两项相邻，它们相差d，故可对两式对应相减，以求得d。若把上述两式相加，可得a1+a2+a3+a4+……+a9+a10=S10。进而由S10以及S20的关系，求出S20。解：由已知，得：由已知，又得：注：此题的巧妙之处在于整体代换的运用，这一思维方法在数列的很多问题中皆有体现，应注意体会个中滋味。求证：x，y，z成等差数列。分析：证明：（1）求公差d的取值范围。分析：欲求d的取值范围，就需解关于d的不等式，而已知条件中含两个不等式：解：由<2>，得：由<3>，得：联立<4>、<5>，整理，得：（2）由（1），可知{

7、an}的公差d<0，因此{an}为递减数列。哪一个的值最大。例7.一个首项为正数的等差数列中，前3项之和等于前11项之和。问此数列的前多少项的和最大？解法1：（利用基本量法）整理，得：解法2：设数列从第n+1项起为负数，则解法3：解法4：【模拟试题】一.选择题：1.等差数列的首项为，公差为d，若，前三项和为3，则有（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.是等差数列，且，则（）A.48B.60C.72D.844.一个等差数列的首项，第10项开始比1大，则公差d的范围是（）A.B.C.D.5.等差数列中，，公差，则使前n项和取得最大值时的n的值为（）

8、A.4和5B.5和6C.6和7D.不存在二.填空题：1.的通项公式是______