高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 7.2.2　两条直线的位置关系导学案 湘教版必修3

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1、7.2.2　两条直线的位置关系1．要求两条直线的公共点，只要求它们的方程的公共解．2．直线位置关系的判断：(1)可以通过解方程组来判断两条直线相交、平行还是重合．方程组有唯一解，则两条直线相交；无解，则两条直线平行；有多于一个的解，则两条直线重合．(2)另一种方法是由两条直线的方向来判断它们的位置关系，不但能判断它们是否相交、平行、重合，还能够判断它们是否垂直．(3)直接通过系数的关系判断．设直线分别是：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，位置关系判定方法重合存在实数λ≠0，使

2、平行存在实数λ≠0，使相交A1B2－A2B1≠0.垂直A1A2＋B1B2＝0.3．两直线的夹角θ的余弦cosθ＝.一、直线位置关系的判定【例1】判断下列各组直线的位置关系．(1)l1：2x＋y＋1＝0，l2：x－3y－5＝0；(2)l1：x－y－2＝0，l2：2x－2y＋3＝0；(3)l1：3x－4y－1＝0，l2：6x－8y－2＝0；(4)l1：y＝x，l2：2x＋2y－7＝0.解：(1)易知A1＝2，B1＝1，C1＝1，A2＝1，B2＝－3，C2＝－5.∵＝2，＝－，∴≠.∴两直线相交．(2)易知A1

3、＝1，B1＝－1，C1＝－2，A2＝2，B2＝－2，C2＝3.∵＝＝，且＝≠＝－，∴两直线平行．(3)易知A1＝3，B1＝－4，C1＝－1，A2＝6，B2＝－8，C2＝－2.∵＝＝，＝＝，∴两直线重合．(4)A1＝1，B1＝－1，A2＝2，B2＝2.A1A2＋B1B2＝1×2＋(－1)×2＝0，∴两直线垂直．对于两直线位置关系的判定问题通常使用直线的系数结合平行和垂直的等价条件进行判断．1－1直线x－1＝0与直线ax－b＝0的位置关系是(　　)．A．相交B．平行C．相交或重合D．平行或重合答案：D1－2下

4、列结论中不正确的是(　　)．A．直线y＝x＋2和5x－3y＋2＝0互相平行B．直线x－6＝0和y－9＝0互相垂直C．直线3x＋4y－12＝0和＋＝1互相平行D．直线y＝x和y＝－x互相垂直解析：C中两直线重合．答案：C1－3以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)．A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形解析：在平面直角坐标系中画出△ABC，如图．由于=(2,3)，=(3，－2)，·=6－6=0，∴AC⊥AB．∴△ABC是以

5、A为直角顶点的直角三角形．答案：C二、相交、平行、垂直的应用【例2】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1与l2重合．解：(1)当m＝0时，l1与l2相交；当m＝2时，l1与l2也相交．当m≠0且m≠2，≠，即m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3且m≠0且m≠2时，l1与l2相交．综上，当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝时，l1⊥l2.(3)由(

6、1)知，m≠0且m≠2.当＝≠，即m＝－1时，l1∥l2.(4)由(1)知，m≠0且m≠2.当＝＝，即m＝3时，l1与l2重合．已知平行、垂直、相交的位置关系确定系数时要尽量使用它们的等价条件列出方程，然后根据题意解出其中的参变量的值即可．2－1过原点和直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点的直线的方程是(　　)．A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0D．19x－3y＝0答案：C2－2已知两直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(　　)．A．2B．

7、1C．0D．－1解析：当a＝0时，直线为y＝－2和y＝2x＋1，不垂直．当a＝－2时，直线为y＝－2x－2和y＝1，不垂直．当a·(a＋2)＝－1时，a2＋2a＋1＝0，a＝－1.答案：D三、直线的交点问题【例3】分别判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.解：(1)因为方程组的解为所以直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．

8、(2)方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合．(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.求两条直线的交点，就是求这两条直线的方程组成的方程组的解，当有交点时，方程组的解就是交点坐标．3－1求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0.解：解方程组得所以，l1与l2的交点是(2,2)．过原点和交点的向量的坐标是(2－0,2－0)＝(2,2)，其法向量是(