高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性学案苏教版选修2

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1、1.3.1　单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理　函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数(2)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．2．导数与函数图象间的关系(1)导函

2、数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.(　　)(2)函数f(x)＝在其定义域上是单调减函数．(　　)(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．(　　)(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．(　　)【答案】　(1

3、)×　(2)×　(3)√　(4)×2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．【解析】　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】　(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：____________________________

4、___________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]判断(证明)函数的单调性　(1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】　求出导数f′(x)，然后判断导

5、数的符号即可．【自主解答】　(1)证明：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝.由于00.故f′(x)＝>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒

6、成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．【证明】　显然函数的定义域为{x

7、x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．求函数的单调区间　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2.【精彩点拨】　首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．【自主解答】　

8、(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2

9、,3)．(3)函数f(x)的定义域为R