高中数学第一章导数及其应用1.3.1单调性学案苏教版选修2.pdf

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1、1.3.1单调性学习目标重点难点1．结合实例，借助几何直观探索并体重点：利用导数求函数的单调区间和会函数的单调性与导数的关系．判断函数的单调性．2．能够利用导数研究函数的单调性，难点：根据函数的单调性求参数的取并学会求不超过三次的多项式函数的值范围.单调区间.导数与函数的单调性的关系(1)一般地，我们有下面的结论：对于函数y＝f(x)，如果在某区间上______，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上______，那么f(x)为该区间上的______．(2)上述结论可以用下图直观表示．预习交流1做一做：在区间(a，b)内，f′(x

2、)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的__________条件．(填序号)①充分不必要②必要不充分③充要④既不充分又不必要预习交流2做一做：函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是__________函数．(填“增”或“减”)预习交流3做一做：函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引(1)f′(x)＞0增函数f′(x)＜0减函数预习交流1：提示：当f′(x)＞0时，f(x)在(a，

3、b)上一定是增函数，当f(x)在(a，b)上单调递增时，不一定有f′(x)＞0.如f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，f′(x)≥0.故填①.预习交流2：提示：∵x∈(0,2π)，∴f′(x)＝(1＋x－sinx)′＝1－cosx＞0，∴f(x)在(0,2π)上为增函数．故填增．预习交流3：提示：f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a在(1，＋∞)上恒大于或等于0，即3x2＋a≥0，a≥－3x2恒成立，∴a≥－3.一、判断或证明函数的单调性sinxπ证明函数f(x)＝在，π上单调递

4、减．x2ππ思路分析：要证f(x)在，π上单调递减，只需证明f′(x)＜0在区间，π上恒22成立即可．1．讨论下列函数的单调性：(1)y＝ax5－1(a＞0)；(2)y＝ax－a－x(a＞0，且a≠1)．2．证明函数f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上是增函数．利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．二、求函数的单调区间求下列函数的单调区间：1(1)y＝x2－lnx；2(2)y＝x3－2x2＋x；1(

5、3)y＝x＋sinx，x∈(0，π)．2思路分析：先求函数的定义域，再求f′(x)，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，从而得出单调区间．1．函数f(x)＝5x2－2x的单调增区间是__________．2．求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．1.利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．2．利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f′(x)＞0[或f′(x)＜0]时，要在函数定义域的前提之下求解．3．如果函数的单调区间不止一个时，要用

6、“和”、“及”等词连接，不能用并集“∪”连接．三、利用函数的单调性求参数的取值范围11若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上32为增函数，试求实数a的取值范围．思路分析：先求出f(x)的导数，由f′(x)在给定区间上的符号确定a的取值范围，要注意对a－1是否大于等于1进行分类讨论．a1．若函数f(x)＝x2－在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．x2．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在(－1,1)上是增函数，求t的取值范围

7、．1.已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使得f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．2．一般地，若f(x)在区间I上单调递增(递减)，可转化为f′(x)≥0(≤0)在I上恒成立，进而可求得参数的取值范围．1．函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递减区间是__________．2．函数f(x)＝(x－

8、3)ex的单调递增区间是__________．3．如下图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是_