2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1单调性教学案苏教版选修2-2

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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案1.3.1　单调性[对应学生用书P13]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′

2、(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解．11苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在

3、某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.判断(或证明)函数的单调性[例1]　讨论下列函数的单调性．(1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨]　先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精

4、解详析]　(1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝axlna－a－xlna(－x)′＝(ax＋a－x)lna，当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为增函数．当00，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为减函数．[一点通]　判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1

5、数学选修2-2教学案)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．①y＝2－3x2；②y＝lnx；③y＝；④y＝sinx.解析：显然，函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上是不单调的；函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数；函数y＝sinx在上是增

6、函数，所以函数y＝sinx在区间(－1,1)上也是增函数．答案：③2．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．证明：显然函数的定义域为{x

7、x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．3．判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：因为y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上是增函数；(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上是减函数；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．求函数的单调区间[例2]　求下列函数的单

8、调区间：(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.11苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案[思路点拨]　先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析]　(1)y′＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，因此，y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，.再令3x2－4x＋1<0，解得

9、令f′(x)>0，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴0