高中数学 1.3.1等比数列的概念及通项公式2学案 北师大版必修5

《高中数学 1.3.1等比数列的概念及通项公式2学案 北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3　等比数列第1课时　等比数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向　等比数列的判断［例1］　已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an+1,求证：｛an｝是等比数列，并求出通项公式.［分析］　要证数列是等比数列，关键是看an与an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求得an.［证明］　∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.∴an+1=2an.　　　　①又∵S1=a1=2a1+1,∴a1=-

2、1≠0.由①式可知，an≠0,∴由=2知｛an｝是等比数列，an=-2n-1.［说明］　(1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明an≠0是非常重要的.证明中，也可以写出Sn-1=2an-1+1,从而得到an=2an-1,只能得到n≥2时，｛an｝是等比数列，得到n≥2时，an=-2n-1,再将n=1代入，验证a1=-1也满足通项公式的要求.（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：①定义法=q(q为常数且不为零){an}为等比数列.②等比中项法an+12=anan+2(n∈N+且an≠0){an}为等

3、比数列.③通项公式法an=a1qn-1(a1≠0且q≠0){an}为等比数列.变式应用1　判断下列数列是否为等比数列.(1)1,3,32,…,3n-1,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)a1,a2,a3,…,an,….［解析］　（1）此数列为等比数列，且公比为3.(2)此数列不是等比数列.(3)当a=0时，数列为0,0,0,…,是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列且公比为a.命题方向　等比数列的通项公式的应用［例2］　在等比数列｛an｝中，已

4、知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.［分析］　本题可以列关于a1,q的方程组入手，解出a1与q,然后再求an.［解析］　设等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q,a5-a1=a1q4-a1=15　①因为a4-a2=a1q3-a1q=6　②由得q=或q=2.当q=时，a1=-16.当q=2时，a1=1,∴an=-16×（）n-1或an=2n-1.［说明］　首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比.变式应

5、用2　已知等比数列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.a1q+a1q4=18a1=32［解析］　解法一：由题意得，解得.a1q2+a1q5=9q=∴an=a1qn-1=32（）n-1=1,∴26-n=20,∴n=6.解法二：∵a3+a6=q(a2+a5),∴q=,又∵a1q+a1q4=18,∴a1=32,∴an=a1qn-1=32×（）n-1=1,解得n=6.命题方向　等比中项的应用［例3］　等比数列｛an｝的前三项的和为168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.［分析］　设出首

6、项和公比→由题意列方程组→解方程组求q→求a1→求等比中项.［解析］　设该等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a5=42,所以q≠1,由已知，得a1+a1q+a1q2=168a1（1+q+q2）=168，所以，a1q-a1q4=42a1q(1-q3)=42因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),所以由②除以①，得q(1-q)=.所以q=.所以a1==96.若G是a5,a7的等比中项，则应有G2＝a5a7=a1q4·a1q6=a12q10=962×（）10=9.所以a5,a7的等比中项是±3.［说明］　由等

7、比中项的定义可知：=G2=abG=±.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有等比中项.反之，若G2＝ab(ab≠0),则=,即a,G,b成等比数列.所以a,G,b成等比数列G2=ab(ab≠0).变式应用3　若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.［解析］　因为a,2a+2,3a+3成等比数列，所以（2a+2）2=a(3a+3).解得a=-1或a=-4.因为当a=-1时，2a＋2，3a+3均为0，故应舍去.故a的值为－4.探索延拓创新命题方向　等比

8、数列的实际应用［例4］　据《中国青年报》2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少到公元年后，我国艾滋病毒感染