高等代数专题研究学习辅导（三）.doc

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1、高等代数专题研究学习辅导（三）多项式与环一、环1．环的定义环具有加法、乘法两个代数运算的代数体系。集合对于加法、乘法两个代数运算构成一个环，要求满足：（1）加法性质有交换律、结合律，每个元素有负元素。（对加法作成一个加群）（2）乘法性质有结合律：（3）乘法对加法有左、右分配律：，则称对这两个代数运算作成一个环。2．环的简单性质（1）在环中，零元素惟一；（2）在环中，每个元素的负元素惟一；（3）在环中，加法有消去律：；（4）在环中，符号法则成立：，，；（5）在环中，移项法则成立：；（6）设是环中的元素，是正整数，规定，，。于是，环中的元素整数倍有意义，对任意；有，；（1）设

2、是环中的元素，是正整数，规定，于是，环中元素的整数次幂有意义，对任意正整数有，；（2）在环中广义分配律成立：2．子环与理想定义设是环的一个子集，若对的两种运算也作成环，则称是的一个子环，是的一个扩环。子环的判别定理:环的子集作成的子环的充分必要条件是（1）（2），3．整环与域定义1.乘法满足交换律的环称为交换环；定义2.设是环的一个元素，对任意有，则称是的单位元素；定义3.设是有单位元素的环，若对中的元素有一元素，使，则称是可逆元素，称为的一个逆元素；定义4.设,是环的两个元素，若，，而，则称与是真零因子。性质在无真零因子的环中，乘法适合左消去律，右消去律，定义5设是一个

3、有单位元素的交换环，并且每个非零元素都可逆，则称是一个域。例1．以下二集合对所说运算是否作成环？若作成环时是否可交换？（1）实数集对数的普通加法及新规定的乘法：（2）数域上的一切形如的方阵对普通加法及乘法。解：（1）因为一般，即右分配律不成立，故不作成环。（2）上的一切方阵显然作成环，但不可交换。因为，若，，，即。