高等代数专题研究辅导2.doc

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1、高等代数专题研究例1求剩余类环的多项式方程的根。解设多项式方程为因为，，，，所以剩余类环的多项式方程的根为多项式方程的根。例2如果整环R是因式分解惟一环，则R中不可约元素也是素元素．证明设a是R中不可约元素。证明若a½b×c，则因为a是不可约元素，所以，．若，则(a,bc)～1，这与a½b×c矛盾．所以，或(a,b)～a，或(a,c)～a，所以，a½b或a½c，故a为素元素．例3证明剩余类环是交换环证明：剩余类环是有限环，任取中的元素，有则剩余类环是交换环。例4求f(x)=x3－x2－x+1的重因式.解

2、显然只要求出f(x)与f¢(x)的公因式即可.f¢(x)=3x2－2x－1这时可令r(x)=x－1f¢(x)=(x－1)(3x+1)所以x－1是f(x)与f¢(x)的最大公因式，x－1是f(x)的2重因式；1是f(x)的2重根5高等代数专题研究例5有4套相同的课本，每套有6本不同的书籍，从每一套中取一本书，共有多少种取法？[分析]这是可重复组合的例子，即从n个元素中取出r个元素的组合数为解实际就是6本书里取4本书，且允许重复取，所以，共有种．例6试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类

3、项后的项数以及的系数．解展开后每一项都是10次的项，它的不同项实际上是从5个元素取10个元素（允许重复取）的方法数，所求项数为项．的系数为例7试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数．解展开后每一项都是10次的项，它的不同项实际上是从5个元素取10个元素（允许重复取）的方法数，所求项数为项．的系数为例8求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数．解设S={1,2,3,…,1000}，A,B分别表示S中能被14和21整除的整数集合．则，　，　，所求为　

4、　　　　＝例9某人从楼下到楼上要走11阶楼梯，每步可走一阶或二阶，问有多少种不同走法．解第一步有两种情况：．则f(n)=f(n－1)+f(n－2)f(11)=f(10)+f(9)最后，得f(11)=144例10设x，y，z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=95高等代数专题研究求f(x,y,z)=3x+6y+5z的极大值．[分析]利用柯西不等式可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值（1）若所给的式子含有带平方项的和式，则多考虑用柯西不等式（2）求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法

5、。当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。解利用柯西不等式3x+6y+5z＝3x×1+＝所求极大值是81．例11设x，y，z为非负实数，且满足3x+2y+z=9,求f(x,y,z)=xyz的极大值．[分析]利用均值不等式也可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值（1）若所给的式子含有一次乘积项，则多考虑用均值不等式（2）求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法。当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号

6、成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。解：利用均值不等式，当时，即例12若,求的最小值。解设，已知是下凸函数，对任意的且，有高等代数专题研究期末辅导第1章考核要求1.熟练掌握集合的概念，着重掌握幂集、积集合和万有集合等概念。2.理解映射的定义、性质。掌握求映射的合成和逆映射的方法。了解置换等概念。3.了解代数体系与代数运算的概念及性质。知道代数系统同态和同构的概念。4.了解自然数的定义，掌握自然数的运算。5.掌握各种归纳法及其简单应用。着重掌握第一（第二）数学

7、归纳法第2章考核要求1.熟练掌握常用的不等式的解法和不等式的证明方法。5高等代数专题研究2.掌握柯西不等式和均值不等式及其应用。3.理解凸函数定义和性质，掌握它们的某些应用。第3章考核要求1.了解环的定义，理解整环的概念，知道环的分类。2.掌握可逆元素的定义，掌握素元素、不可约元素和相伴元素的概念及相关结论。3.了解公因式的概念，熟练掌握整系数多项式因式分解的方法。4.了解多项式的代数定义和分析定义的异同。掌握代数元和超越元的求法。5.知道代数基本定理及相关结论。6.会一元三次和四次多项式根的求法，以及

8、多项式零点的估计方法。7.了解重因式和单因式定义，掌握其判别法。第4章考核要求1.理解加法原理和乘法原理。熟练掌握初等排列和组合。2.掌握可重复排列与组合。了解排列组合模型，熟练掌握排列组合公式。3.理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。4.了解递推公式原理、扰乱排列等的概念。5.知道抽屉原理，会简单应用例１已知，解不等式解：方法1：设所给不等式的定义域为，即欲使，则必有把实数分为区间因为已知，所以只需在讨论。显然在内，；在内，；在