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《高等代数专题研究系列辅导之三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、薃羄袇芄蚆螇膅芃莅蕿肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀芀螃衿荿蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蚁羆蒃蒃袆羂肀薅蝿袈聿蚇羅膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄肀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膀薃蚃肂膀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芄薃羄袇芄蚆螇膅芃莅蕿肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀芀螃衿荿蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蚁羆蒃蒃袆羂肀薅蝿袈聿蚇羅膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄肀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膀薃蚃肂膀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芄薃羄袇芄蚆螇膅芃莅蕿肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀
2、芀螃衿荿蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蚁羆蒃蒃袆羂肀薅蝿袈聿蚇羅膇肈莇螇肃肇葿羃罿肆薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄肀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膀薃蚃肂膀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芄薃羄袇芄蚆螇膅芃莅蕿肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀芀螃衿荿蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆肃薈螂袂膂蚁羈膀膁莀螁肆膁薃羆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芅莁蚈袁芅蒃袄腿芄蚆蚇膅芃螈羂肁节蒈螅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂罿肈荿蒄螂羄莈薇羇袀莇蝿螀艿莆葿蚃膅莅薁袈肀莄蚃蚁羆莃莃袆袂莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀荿袃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆
3、螄肀蒇蒆羀羆肃薈螂袂膂蚁羈膀膁莀螁肆膁薃羆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芅莁蚈袁芅蒃袄腿芄蚆蚇膅芃螈羂肁节蒈螅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂罿肈荿蒄螂羄莈薇羇袀莇蝿螀艿莆葿蚃膅莅薁袈肀莄蚃蚁羆莃莃袆袂莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀荿袃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆肃薈螂袂膂蚁羈膀膁莀螁肆膁薃羆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芅莁蚈袁芅蒃袄腿芄蚆蚇膅芃螈羂肁节蒈螅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂罿肈荿蒄螂羄莈薇羇袀莇蝿螀艿莆葿蚃膅莅薁袈肀莄蚃蚁羆莃莃袆袂莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀荿袃罿葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆肃薈螂袂膂蚁羈膀膁莀螁肆膁薃
4、羆肂膀蚅衿羈腿螇蚂芇膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芅莁蚈袁芅蒃袄腿芄蚆蚇膅芃螈羂肁节蒈高等代数专题研究系列辅导之三¾群中央电大师范部冯泰1.群的概念群设(G,*)是代数体系，且二元运算*还满足：(1)二元运算*满足结合律；(2)存在幺元eÎG，对"xÎG，有e*x=x*e=x；(3)"xÎG,$x－1ÎG，使得x－1*x=x*x－1=e,则称(G,*)为群.由群的定义可知，所谓群就是对二元运算*封闭、满足结合律、存在幺元和逆元的代数体系．例如，(Z,＋)，(Q,＋)，(R,＋)都是群，并称(Z,＋)为整数加法群．例1在Mn(R)上，对矩阵的加法，n阶零
5、矩阵是幺元，对"AÎMn(R)，则存在矩阵A的逆元－AÎMn(R)，故(Mn(R),＋)是群．例2设Zn表示全体整数模n的剩余类，Zn＝{`0，`1，`2，…,}其中表示模n余数为i的剩余类，即={x½x是自然数，xºi(modn)，在Zn上定义二元运算＋n为"ÎZn，=()除n的余数=(x+y)(modn)显然+n在Zn上封闭．+n是Zn上的二元运算．易验证"x,y,zÎZn，(x+ny)+nz=(x+y+z)除n的余数＝x+n(y+nz)即＋n在Zn上满足结合律．又"`xÎZn，存在ÎZn，有`x+n`0=`0+n`x`=x，即`0是其幺元．
6、若`x=`0ÎZn，则逆元是它自己；若`x¹`0且`xÎZn，则n－`x是`x的逆元，因为`x+n(n－`x)=`0．故(Zn,＋n)是群，称为剩余类群．例3设S¹Æ，可以验证在P(S)上Å是可结合的；又"AÎP(S)，AÅÆ=ÆÅA=A，ÆÎP(S)，表明Æ是幺元；"BÎP(S)，BÅB＝Æ，即B的逆元就是它自己．故(P(S),Å)是群．注：(R,×)，(Z，×)，(Q，×)等不能构成群．因为数的乘法×的幺元是1，x的逆元是，即0不存在逆元．有一个元素不存在逆元，也不能构成群．若将元素0除掉，记R*＝R－{0},Q*=Q－{0}，Z*＝Z－{0
7、}，于是，(R*,×)，(Z*，×)，(Q*，×)等是群．子群设(G,*)是一个群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算*构成群，则称H为G的子群，记作H£G.如(Q,+)是(R,+)的子群，(Z,+)又是(Q，＋)的子群．2.特殊群交换群如果群（G,*）中的二元运算是可交换的，则称群(G,*)为交换群．如(Z，＋)，(Q＋,×)等是交换群．易知(Zn，＋n)是交换群．循环群设G是群，如果存在元素aÎG，满足G={ak½kÎZ}则称G是循环群.记作G＝(a)，a称为群G的生成元．例如{Z，＋}是循环群，其生成元是1或－1，因为"nÎZ，有再如，
8、剩余类加法群{Zn,+n}是循环群．"kÎZn，k=(1)k＝，生成元是1．例4设有代数体系{Z，°}，运算°定义如下"a,bÎZ,a°
