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1、数学分析专题研究学习辅导(四)第一章集合与映射(四)——有关二元关系部分典型例题解析例1设集合A={I,2,3,4}上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)),S={(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)},用定义求S。R,R。S,R?,R_',S_'怡一'。.［思路］求复合关系SoR,就是要分别将尺屮有序对(a,b)的第2个元素b与S屮的每个有序对(c,〃)的第1个元素进行比较，若它们相同(即b=c),则可组成5o/?.p的1个元素(o,d),否则不能.幕关系的求法与复合关系类似.求关系尺
2、的逆关系，只要把R屮的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到屮的所有有序对.解So/?={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3))o{(1,3),(2,2),(3,2),(4,4))二{(1,3),(1,2),(2,4),(3,3),(3,2)}R。S={(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}o{(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3))={(1,1),(1,3),(2,4),(3,4)}R2=RoR={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}o{(1,1),(1,2
3、),(2,4),(3,1),(3,3))二{(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3))/?_,={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}"={(1,1),(1,3),(2,1),(3,3),(4,2)}S"二{(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}-'={(2,2),(2,3),(3,1),(4,4))S~lo/?-'={(1,1),(1,3),(2,1),(3,3),(4,2)}o{(2,2),(2,3),(3,1),(4,4))={(1,1),(3,1),(4,2),(
4、4,3)}注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即SoR^RoS.例2对于以下给定的集合力、〃和关系广，判断是否构成映射/：A—B.如果是，试说明A->B是否为单射、满射或双射的.(1)4={1,2,3,4,5},3={6,7,&9,10},『={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}；(2)A={1,2,3,4,5),3二{6,7,8,9,10),/={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10)}；(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,&9,10},/={(L8),(3,10
5、),(2,6),(4,9)}(4)A=B=Rff(x)=x,(VxeR)；(5)A=B=Rf/(x)=—,(VxgR)；x-+1［思路］首先按照1.2节的定义2.5,判断4、B和/是否构成映射，即判断/是否具有单值性以及Dom(f)是否等于久然后再按照定义2.6,说明A->B具有的性质.解(1)因为Dom(f)=A,且对任意Z€A(/=l,2,3,4,5),都有唯一的jwB,使QJ)gf.所以A、8和/能构成函数AtB.因为存在3,5eA,且3H5,但映射/⑶=门5)=9,所以.f：A->B不是单射的；又因为集合B中的元素7不属于/的
6、值域，即所以A->B不是满射的.(2)因为对1GA,存在7,9w3,有/(1)=7,/(1)=9,即/不满足映射定义的单值性图1-1条件.所以A、B和f不能构成映射.f：A->B.(3)因为Do®/*二{1,2,3,4}H4,所以4、B和./■不能构成映射.f：ATB.(2)因为对VxgR,®有唯一的x3gR,使(x,%3)€f.所以A、B和广能构成映射f：A—B.由图1-12可知，f：A->B,/(x)=X3是双射的.(2)因为对VxgR，都有唯一的一GR,JT+1使(兀,V—)丘/•所以人、B和/•能构成映射兀+1/：A->B.因
7、为该映射在xH0处，f(F*(x),且/(R)HR,所以映射.f：A-^B不是单射的，也不是满射的.例3证明：若/：XTY,4,BuY,则=(B)证明tVxg3ye(A-5),即yeA但yWB,使得y=f(x),从而有疋厂⑷但虑广(B),故疋(广匕)•・.广1(A—B)u/*T⑷一又vVxe(f~l(A)-f~l(B)),由于xw广
8、(4)但x巨厂'(B),从而f(x)eA但/(x)eB,即/(x)w(A-3),故xwf~x(A-B).厂⑷十⑹u/S®.因此,/■,(A-5)=yI(A)-/-,(B).例4设有映射f:A-A.若「6,
9、弘)“则称映射/是恒等映射，表示为设有两个映射若g。/■二J,则f是单射，g是满射.证明(1)证明映射.f是单射.对任意的bwB,如果存在⑷，a2^A,使f(aj=b,f(ci2)=b,即f(a})=b=f(a2).因为
