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1、数学分析专题研究学习辅导（五）第二章数集（一）教学要求1.理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。3.理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。重
2、、难点解析重点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。难点：数集扩充的方法。(一)关于自然数集随着历史的发展，数的概念随之也在不断扩展，使得以集合论为基础的数集，从自然数集开始扩充，逐步建立起严密、科学的数系的理论.在学习本节之前，应该先复习第一章中的集合概念和相关知识，为学习本节内容打好基础.在学习本节内容时要理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律.在学习自然数集时应该注意以下几点：1．自然数是非空有限集合A的基数.因为A是非空集合，即A，且的基数是0，所以0不属于自然数.也因为A是有限集合，所以它的基数是一个可以写
3、出的、唯一确定的数.2．自然数集N是由自然数组成的集合.且对任意自然数n，有n1，所以1是自然数集N的最小元.3．自然数集N是一个无限集合，即它含有无穷多个元素.因为设集合M={2k｜k∈N}，则MN，且存在1N，而1M，故M是N的真子集.建立自然数集N到集合M的一个映射f：N→M，f(k)=2k，则f是从N到M的一个双射.所以N是无限集合.4．因为对于任意两个自然数m,n，那么m＜n或m=n或m＞n有且仅有一种情况成立.由第一章中的序关系定义可知，自然数集N是一个全序集合.5.因为自然数集可以表示为N={1,2,3,…,n,…}，所以N是可列集.且与自然
4、数集N等势的集合都是可列集.任何无限集一定含有可列子集.6．在自然数的加法定义中，只有当集合A，B是互不相交的，即AB=，或者说集合A，B没有公共元素，则集合A，B的基数(=a，=b)才能相加a+b，否则不能相加.同理，在乘法的定义中，集合，，…，中任何两个的交集都是空集，也就是说它们之间没有公共元素，而且这b个集合是等势的，即==…，==a，否则也是不能做乘法的.(二)关于整数集由上一节知道，两个自然数的差未必是一个自然数，即在自然数集中，减法未必总是能够实施的.为此，我们必须对自然数集进行扩充.在这一节中，主要讨论如何将自然数集扩充为整数集，使得减法运算
5、能够实施.在学习本节之前，应该先复习第一章中的笛卡尔集、等价关系和序关系等概念，为学习本节内容打好基础.在学习本节内容时要理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构和代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性.教育文档在学习整数集时应该注意以下几点：1．在整数集Z=Z×Z/R的定义中，Z是把“0”添入自然数集后所得到的数集，叫做扩大的自然数集.在Z中加法和乘法运算规定为：n+0=0+n=n,n·0=0·n=0.减法和除法运算是加法和乘法运算的逆运算，即n-0=n，n-n=0,0-0=0,0n=0.2．在定义Z={［m,n］
6、m,n∈Z}中的［m,n］是
7、一个二元有序数偶，即当mn时，［m,n］［n,m］.而且，按照Z中规定的序，Z中的大小关系应该是：[m,n]＜(＞)[k,l]m+l＜(＞)k+n.特别地：[m,n]＜[k,n]m＜k，[m,n]＜[m,l]n＞l.因此，要注意“”右面表达式中的数字在左面数组中的位置.3．整数［p，q］与［m,n］的减法运算为：［p,q］-［m,n］=［n+p,m+q］，也就是说在整数加减运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数.这是因为［p,q］-［m,n］=［n+p,m+q］=［p,q］+［n,m］=［p,q］+(-［m,n］).4．由于整数集可以表示为Z=｛［m,0
8、］
9、m∈Z｝｛［0,m］
10、m∈Z｝.我们规定：0=[0,0]，m=[m,0]，-m=[0,m]又因为［m,n］=［m,0］+［0,n］=［m,0］-［n,0］=［m-n,0］.故Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}因此，整数集是可列集.(三)关于有理数集由前二节知道，在自然数集或整数集中，除法未必总是能够实施的.为此，我们必须对整数集进一步扩充.本节主要讨论如何将整数集扩充为有理数集，使得除法运算能够实施.在学习本节内容时要了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循
11、环小数表示.在学习有理数集时应该注意以
