数学分析专题研究学习辅导(六)

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1、数学分析专题研究学习辅导（六）第二章数集（二）典型例题解析例1设有自然数m,n,i,j,且n＞m，i＞j，则n+i＞m+j.[思路]利用第二章定理1.2的证明方法.证明因n＞m，故存在自然数k，使得n=m+k，故n+i=(m+k)+i=m+(k+i)=m+(i+k)=(m+i)+k同理，因i＞j，故存在自然数l，使得i=j+lm+i=m+(j+l)=(m+j)+l所以，n+i=(m+i)+k=(m+j)+l+k＞(m+j)+l＞m+j例2设是关于x的函数，nN，若，，，则.[思路]用第一数学归纳法证明.证明：当n=1时，，结论成立.假设n=

2、k时，结论成立，即.那么，当n=k+1时，==由第一数学归纳法可知，对nN，有.例3已知，证明：，nN.[思路]首先利用已知条件，推导出，再用第二数学归纳法证明.证明：因为，那么=即当n=1时，由知，结论成立.假设n

3、入AB，即AB={,}，()所以AB为可列集.例5设有理数a,b,cQ，则(a·b)·c=a·(b·c).[思路]用直接验算的方法证明.证明因为a,b,cQ，故a=，b=，c=，且(a·b)·c=(·)·=()·==·()=a·(b·c)所以，(a·b)·c=a·(b·c).例6证明：aQ，(-a)Q，使a+(-a)=0.[思路]利用定理3.2的结论证明.证明因为0,aQ，故0=，a=，由定理3.2知，存在唯一的===-a，使得+()=0，即a+(-a)=0.例7设是既约真分数，且b只含有2和5以外的质因数，当化为循环小数时，循环节最少的位数是m，则a

4、能被b整除.[思路]利用定理3.9的证明方法.证明因为是既约真分数，且b只含有2和5以外的质因数，由定理3.9知，能化成纯循环小数.又有已知==教育文档=+=+=+且-=得=即=所以，a能被b整除.例8设A是非空有界数集，令-A={-x｜x∈A}．则有inf(-A)=-supA．[思路]用定义4.11验证.证明设，由定义4.11知，(1)对，都有，即，（x∈A）；(2)对，，有，即，（）.因此，=supA，即inf(-A)==-supA.例9设A，B是两个非空数集，令A+B=｛x+y｜x∈A,y∈B｝则sup(A+B)=supA+supB．证明设=s

5、upA，=supB，那么对x∈A,有，且，，有；同样，对y∈B，有，且，，有.因为(x+y)∈(A+B)，有x∈A，和y∈B，，得(x+y)；对，有上述讨论知，，，即，使所以，=sup(A+B)，即supA+supB=sup(A+B)．例10已知非零复数满足，证明一定是负数.[思路]为证明<0，只要证明为纯虚数.为此可证+=0，且.教育文档证明因为，故，.由，得，+=0所以，为纯虚数，即<0.例11设，若，则.[思路]把看成的模.证明设，R，且.那么因为，所以，即例12证明：[思路]利用乘幂法则证之.证明教育文档