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1、专业好文档数学分析专题研究学习辅导（四）第一章集合与映射（四）——有关二元关系部分典型例题解析例1设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}，S={(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}，用定义求.[思路]求复合关系，就是要分别将R中有序对(a,b)的第2个元素b与S中的每个有序对(c,d)的第1个元素进行比较，若它们相同（即b=c），则可组成中的1个元素(a,d)，否则不能.幂关系的求法与复合关系类似.求关系R的逆关系，只要把R中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到中的所有有序对.解={(1,1),
2、(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}{(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}={(1,3),(1,2),(2,4),(3,3),(3,2)}={(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}{(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}={(1,1),(1,3),(2,4),(3,4)}=={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}{(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),(3,3)}={(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3)}={(1,1),(1,2),(2,4),(3,1),
3、(3,3)}={(1,1),(1,3),(2,1),(3,3),(4,2)}={(1,3),(2,2),(3,2),(4,4)}={(2,2),(2,3),(3,1),(4,4)}={(1,1),(1,3),(2,1),(3,3),(4,2)}{(2,2),(2,3),(3,1),(4,4)}={(1,1),(3,1),(4,2),(4,3)}注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即.例2对于以下给定的集合A、B和关系f，判断是否构成映射f：.如果是，试说明f：是否为单射、满射或双射的.（1）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,8),(3
4、,9),(4,10),(2,6),(5,9)}；（2）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10)}；（3）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,8),(3,10),(2,6),(4,9)}（4）A=B=R，f(x)=x3，（R）；（5）A=B=R，，（R）；[思路]首先按照1.2节的定义2.5，判断A、B和f是否构成映射，即判断f是否具有单值性以及Dom(f)是否等于A.然后再按照定义2.6，说明f：具有的性质.解（1）因为Dom(f)=A，且对任意（i=1,2,3
5、,4,5），都有唯一的，使(i,j).所以A、B和f能构成函数f：.因为存在3,5A，且35，但映射f(3)=f(5)=9，所以f：不是单射的；又因为集合B中的元素7不属于f的值域，即f(A)B，所以f：不是满射的.xf(x)123-1-3-2123-2-1-3图1-1（2）因为对1A，存在7,9B，有f(1)=7，f(1)=9，即f不满足映射定义的单值性条件.所以A、B和f不能构成映射f：.（3）因为Domf={1,2,3,4}A，所以A、B和f不能构成映射f：.（4）因为对R，都有唯一的R，使(x,).所以A、B和f能构成映射f：.由图1-12可知，f：，f(x)=x3是双
6、射的.7专业好文档（5）因为对R，都有唯一的R，使.所以A、B和f能构成映射f：.因为该映射在x0处，f(-x)=f(x)，且f(R)R，所以映射f：不是单射的，也不是满射的.例3证明：若f：XY，A，BY，则(A-B)=(A)-(B)证明x(A-B)，y(A-B)，即yA但yB，使得y=f(x)，从而有x(A)但x(B)，故x((A)-(B))．(A-B)(A)-(B)．又x((A)-(B))，由于x(A)但x(B)，从而f(x)A但f(x)B，即f(x)(A-B)，故x(A-B)．(A)-(B)(A-B)．因此，(A-B)=(A)-(B)．例4设有映射f:A→A.若a∈A,
7、f(a)=a,则称映射f是恒等映射，表示为.设有两个映射f:A→B,g:B→A.若gf=,则f是单射，g是满射.证明(1)证明映射f是单射.对任意的bB，如果存在a1，a2A，使f(a1)=b，f(a2)=b，即f(a1)=b=f(a2).因为a1=(a1)=(gf)(a1)=g(f(a1))=g(f(a2))=(gf)(a2)=(a2)=a2.所以f是单射的.(2)证明映射g是满射.因为(gf)(A)=(A)=A，所以gf是满射的.又对任意的cA，由gf是满射的可知，存在aA，使(gf)(
