专题四 第二讲

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1、第二讲　数列求和及综合应用1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋·d＝.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝.2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在

2、推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数

3、列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．1．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.2．(2012·福

4、建)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于(　　)A．1006B．2012C．503D．0答案　A解析　用归纳法求解．∵an＝ncos，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.又2012＝4×503，∴a1＋a2＋…＋a2012＝2＋2＋

5、…＋2＝2×503＝1006.503个3．(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.4．(2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案　1830解析　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴

6、a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.5．(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则：(1)a

7、3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.答案　(1)－　(2)解析　∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.当n为偶数时，an－1＝－，当n为奇数时，2an＋an－1＝，∴当n＝4时，a3＝－＝－.根据以上{an}的关系式及递推式可求．a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)

8、＋…＋(a100－a99)－＝－＝.题型一　分组转化法求和例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln