专题六 第二讲

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1、第二讲　圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、＝2a(2a＞

6、F1F2

7、)

8、

9、PF1

10、－

11、PF2

12、

13、＝2a(2a＜

14、F1F2

15、)

16、PF

17、＝

18、PM

19、，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程＋＝1(a＞b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)图形几何性质范围

20、x

21、≤a，

22、y

23、≤b

24、x

25、≥ax≥0顶点(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝＝(0＜e＜1)e＝＝(e＞1)e＝1准线x＝－渐近线

26、y＝±x1．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，

27、MF

28、＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x答案　C解析　由题意知：F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C

29、：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　C解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈R＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以＝.即渐近线方程为y＝±x.故选C.3．(2013·山东)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　抛物线C1的标准方程为：x2＝2py，其焦点F为，双曲线C2的右焦点F′为(2,0)，渐近线方程为：y＝±x.由y′＝x＝得x＝p，故M.由F

30、、F′、M三点共线得p＝.4．(2013·福建)椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案　－1解析　由直线方程为y＝(x＋c)，知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以

31、MF1

32、＝c，

33、MF2

34、＝c，所以

35、MF1

36、＋

37、MF2

38、＝c＋c＝2a.即e＝＝－1.5．(2013·浙江)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若

39、

40、FQ

41、＝2，则直线l的斜率等于________．答案　±1解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．解方程组.化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.∴x0＝，y0＝.由＝2得：2＋2＝4.∴k＝±1.题型一　圆锥曲线的定义与标准方程例1　(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．(2)已知P为椭圆＋y2＝1和双曲线x2－＝1的一个交点，

42、F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为________．审题破题　(1)根据椭圆定义，△ABF2的周长＝4a，又e＝可求方程；(2)在焦点△F1PF2中使用余弦定理．答案　(1)＋＝1　(2)－解析　(1)设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为

43、AB

44、＋

45、BF2

46、＋

47、AF2

48、＝

49、AF1

50、＋

51、AF2

52、＋

53、BF1

54、＋

55、BF2

56、＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设

57、PF1

58、>

59、PF2

60、，则，所以.又

61、F1F2

62、＝2，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝－.反思归纳　圆锥

63、曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求

64、PF1

65、＋

66、PF2

67、>

68、F1F2

69、，双曲线的定义中要求

70、

71、PF1

72、－

73、PF2

74、

75、<

76、F1F2

77、.变式训练1　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点F1，F2，M为双曲线上一点，且满足∠F1MF2＝90°，点M到x轴的距离为.若△F1MF2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为_____