专题二 第二讲

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1、第二讲　不等式1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．

2、一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

3、x>x2或x

4、x∈R且x≠－}R不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

5、x10，b>0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．4．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；(

6、2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立，则

7、等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)0的解集为(　　)A．{x

8、x<－1或x>－lg2}B．{x

9、－1

10、x>－lg2}D．{x

11、x<－lg2}答案　D解析　由已知条件0<10x<，解得xlgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2

12、x

13、(x∈R)D.>1(x∈R)答案　C解析　当x>0时，x2＋≥2·x·＝x

14、，所以lg≥lgx(x>0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．3．(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.答案　2解析　作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解

15、得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.4．(2013·湖南)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案　12解析　方法一　∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋9c2≥(a＋2b＋3c)2＝＝12.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.方法二　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.由柯西不等式，可得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．5．(2013·

16、四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．答案　{x

17、－70，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－5