高一数学 3.4.1基本不等式的证明（2）学案

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1、2012高一数学3.4.1基本不等式的证明（2）学案学习目标：1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同．4.使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．学习过程：一、问题情境提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？（我们称的算术平均数，称的几何平均数，成立的条件是不同的：前者只要求,都是实数，而后

2、者要求,都是正数）．二、学生活动提问：问题1：已知都是正数，若，那么有无最大值，若有求出最大值．问题2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的．问题3：如果将问题1中条件改为，那么有无最值呢？问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理．三、建构数学最值定理：已知都是正数，①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基

3、本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”．③函数式中各项必须都是正数;④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．四、数学运用1．例题．例1（1）求的最值，并求取最值时的的值．（2）若上题改成，结果将如何？例2（1）求的最大值，并求取最大值时的的值．（2）求的最大值，并求取最大值时的值例3　已知是正实数，若，求的最小值．变题：若，求的最小值．例4　求下列函数的值域:（1）；（2）．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要

4、求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案.2.　练习．（1）已知，求的最大值并求相应的值．（2）已知，求的最大值，并求相应的值．（3）已知，求函数的最大值，并求相应的值．（4）已知求的最小值，并求相应的值．五、要点归纳与方法小结：