《3.4.1 基本不等式的证明》教学案1

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1、3．4.1《基本不等式的证明》教学案教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释.2.过程与方法(1)通过实例探究抽象基本不等式；(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(3)运用拆项

2、、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.●重点、难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义．难点：理解基本不等式等号成立的条件．为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式≤的证明过程．每一步证明过程都要

3、给学生留出思考的空间，让他们自主探究．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给

4、出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒课前自主导学课标解读1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．(重点)2.能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(重点、难点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(重点)知识1算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.知识2基本不等式【问题导思】　1．若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大

5、小关系？【提示】　因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.2．上述结论中，等号何时成立？【提示】　当且仅当a＝b时等号成立．3．若以、分别代替问题1中的a、b，可得出什么结论？等号何时成立？【提示】　a＋b≥2(a、b是正数)，当且仅当a＝b时等号成立．如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．课堂互动探究类型1利用基本不等式比较大小例1　设a、b∈(0，＋∞)，试比较，，，的大小．【思路探究】　先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明．【自主解答】　∵

6、a、b∈(0，＋∞)，∴＋≥2，即≤，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．又∵≥＝＝，∴≤，当且仅当a＝b时等号成立．而≤，于是≤≤≤.当且仅当a＝b时等号成立．规律方法1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式．2．在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.变式训练已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，比较[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小，并加以证明．【解】　∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1x2)，f()＝lg，又∵x1，x2∈R＋，∴x1x2≤()2.∴lg(x1

7、x2)≤lg()2.∴lg(x1x2)≤lg，即(lgx1＋lgx2)≤lg.∴[f(x1)＋f(x2)]≤f()，当且仅当x1＝x2时，等号成立.类型2利用基本不等式证明不等式例2　已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞＋＋.【思路探究】　分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立【自主解答】　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞＋＋.规律方法1．本题中，由于三个不等式等

8、号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立．2．由基本不等式≥可以引申出的常用结论：(1)＋≥2(a，b同号)；(2