高一数学 3.4.1 基本不等式的证明（1）学案

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1、2012高一数学3.4.1基本不等式的证明（1）学案学习目标：一、知识与技能1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；　　2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；　　3．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；　　4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释．学习过程：一、问题情景1.提问：与哪个大？2.基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国

2、古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学生活动问题1　我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？问题2　那4个直角三角形的面积和呢？问题3　好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？.三、建构数学1．重要不等式：一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立．问题4：你能给出它的证明

3、吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛．　　问题5：将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？2．基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立．说明：把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．注意：（1）基本不等式成立的条件是：；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（图1

4、）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点，过作弦，则，从而，而半径基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即；（5）如果，那么（当且仅当时取“”）；（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．四、数学运用1．例题．例1设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）.例2已知为两两不相等的实数，求证：.．例3已知都是正数，求证.2．练习（1）已知都是正

5、数，求证：；（2）已知都是正数，求证：；（3）思考题：若，求的最大值.五、要点归纳与方法小结六、课外作业课后练习第2题、第3题；习题3.4第1题、第2题、第3题．