3.4.1基本不等式的证明

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1、辅仁高中学案基本不等式的证明2.1数形结合,探索基本不等式【情境1】对于任意的实数x、y，有恒成立，即。探究：１．分别用，代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子？２．对上述实数a、b，须有何限制条件？３．上述不等关系中，何时取到“=”？【情境2】如图1，AB为半圆的直径，C为圆周上一动点，CH⊥AB，H为垂足。设AH＝a，HB＝b，把称为a，b的算术平均数，把叫作a，b的几何平均数。OHBCA探究：１．试指出图中哪条线段的长度分别是a，b的算术平均数和几何平均数？２．能否比较它们的大小关系？2.2归纳猜想

2、,发现基本不等式以上从形和数两个角度得到了两个正数的算术平均数和几何平均数之间的不等关系：这个不等式还有其他的证明方法吗？2.3严谨推理,证明基本不等式证法一(比较法)证法二(分析法)求证不等式<证法三（综合法）如果，那么≤(当且仅当a=b时取“=”).这个不等式称为基本不等式。说明：（1）关于“当且仅当a=b时取等号”的理解当a=b时，；当时，a=b；也即（2）基本不等式的变式：①≥②≤（这个不等式其实对任意实数a，b都成立）2.4探究尝试,应用基本不等式例证明下列不等式成立：（1）≥2（）；（2）≥；思考

3、1：第（1）题若将改为，要证的不等式有何变化？如何证明？思考2：第（2）题若将改为，求的取值范围。思考3：证明下列不等式：（1）（同号）；（2）（，）；（3）≥。2.5反思总结,回顾基本不等式师：本节课我们从数和形两个不同角度发现了基本不等式．在对不等式的证明过程中，学习了三种证明不等式常用的思路、方法．并且初步学习应用基本不等式来进行不等式的证明．在应用基本不等式时，要注意哪些问题?3课后探究我们在本节课的开始从数与形两个角度发现了基本不等式．其实还有很多的途径可以帮助我们探寻、理解、证明基本不等式．我给大

4、家提供一份研究性学习材料，要求大家自主研究与小组合作相结合，试从以下不同的视角来探究基本不等式．设计如下的“多角度探寻基本不等式”的研究性学习活动，让学生课后探究，深化学生对基本不等式的认识和理解．3．1代数视角（1）平均值换元法由，（其中a＞0，b＞0）得≤。（2）增量换元法不妨设a≥b，令t=a-b，则t≥0，a=b+t，其中a＞0，b＞0。则由≤得。3．2方程视角一元二次方程方程有两解,所以其根的判别式△应该满足△≥0,从而≥0,所以。3．3向量视角AOyx向量，，根据数量积且≤1可知≤，所以由≤可得。

5、3．4解析几何视角（1）借助点到直线的距离在直角坐标系中，因为直线过原点，则点A到直线的距离一定小于或等于该点到原点的距离，则。（2）借助面积在直角坐标系中，已知点和点，则线段，BAOyx=；又=≤。3．5三角视角（1）借助三角函数的定义已知角和角的终边上一点分别为点和点，则所以，；，，由≤1得。（2）借助余弦定理在直角坐标系中，点和点，则，在中，由余弦定理有，由≤1得。CBA3．6几何视角（1）借助勾股定理在中，，，则，由得。IHGECDBAF（2）借助正方形的切割如图，设a≥b，正方形ABCD边长为，正方

6、形AEFG边长为，则其面积分别为，，根据图形显然有≤，即。