2018版高中数学 小问题集中营 专题5.6 突破点 含参的直线与圆的位置关系

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1、问题6突破点含参的直线与圆的位置关系一、问题的提出解析几何中的含参的直线与圆的位置关系问题，涉及到基本的直线与圆的位置关系问题，主要是相交中的弦长问题，和相切中的切线问题。然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出参数的范围。二、问题的探源对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径．三、问题的佐证例一、已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点．求m的取值范围．【训练】1.在平面直角坐标系xOy中

2、，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．0D．－1【解析】∵四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N(0,1)，且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k＝0.2．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由

3、已知圆的半径，∵圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为，∴直线与圆相交，且圆心到直线l的距离又圆的圆心为整理得：解得：又直线的斜率又∴直线的倾斜角的范围是故选D．例二、已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．【解析】∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，∴l可变形为：x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－x＋，l3：y＝－x－.过原点作

4、直线l0：y＝－x，m0：y＝－x.∵直线l的斜率k＝－，直线AB的斜率k＝－1，∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－x＋1，要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈.∴m的取值范围是.要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然．要注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要注意比较直线l的斜率k＝－与直线AB的斜率k＝－1，如果注意到它们的关系了，就不易出错．例三、已知直线l：

5、y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有交点，求m的取值范围．∵直线l与圆在第一象限内有交点，∴直线l应该在过点B(1,0)的直线与切线l2之间才可以，而当B(1,0)在直线l上时，m＝，∴m的范围是.练习：已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．【解析】由消去y，得5x2＋10x＋4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0.∴x1·x2＋(3－x1)·

6、(3－x2)＝0，整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，∴5×－3×(－2)＋9＝0.解得m＝3满足①∴实数m的值为3.此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．四、问题的解决一、选择题1.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】曲线是以为圆心，为半径的半圆，如图所示直线是过定点的直线。设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，即

7、，解得直线的斜率为，，实数的取值范围是故答案选2.从动点向圆作切线，则切线长的最小值为A.B.C.D.【答案】B3.已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选C．4.若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】圆心与原点之间的距离为，当原点在圆外时，则；当原点在圆外时，则；当点在圆上，显

8、然符合，综上3种情况有，解得或，选C.5.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】在等式两边平方得，即，由于，故函数的图象表示圆的下半圆，如下图所示，设点的坐标为，则，将代入得，即，因此点是直线上的动点，如下图所示，由于圆的的圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，因此的最小值是，故选C.6.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（）A.B.2C.3D.【答案】B7.【广东省惠州市2017届高三第一次调