2018年秋八年级数学上册 第13章 全等三角形本章总结提升练习 （新版）华东师大版

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1、全等三角形本章总结提升问题1　命题与逆命题、定理与逆定理什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？例1下列命题的逆命题不是定理的是(　　)A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角相等C．全等三角形的对应角相等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等问题2　运用全等三角形解决问题从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？例2已知：如图13－T－1所示，CD∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线BC分别交DC

2、，AB于C，B两点．求证：AD＝AB＋CD.图13－T－1问题3　尺规作图什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？例3如图13－T－2，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求回答问题：(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由(1)(2)观察：线段EF与线段BD有怎样的关系？图13－T－2问题4　等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等

3、腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？例4如图13－T－3所示，AC⊥CD，BD⊥CD，线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC＝FD，连结AF，BF.求证：△ABF是等腰直角三角形．图13－T－3　　　　　　　　　　　等角对等边的几个应用等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛．我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件．不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的．那么，能否根据

4、三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第82页就证明了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，这个结论简称为“等角对等边”．至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了．下面，我们来看看这个定理的常见应用：一、用等角对等边判定等腰三角形例1如图13－T－4，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.(1)求证：BC＝AD；(2)试判断△OAB的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C＝∠D＝90°.在Rt△ACB和Rt△BDA中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ACB≌Rt

5、△BDA(H.L.)，∴BC＝AD.(2)△OAB是等腰三角形．理由：由△ACB≌△BDA，得∠CAB＝∠DBA，∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．[点评]判定一个三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等．图13－T－4二、用等角对等边证明等腰三角形例2如图13－T－5，点O是AD，BC的交点，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD.求证：△ABO是等腰三角形．图13－T－5[解析]要证明△ABO是等腰三角形，由图可知，就是要证明OA＝OB，也就是要证明∠CBA＝∠DAB，则只要证明△ABC≌△BAD即可．证明：∵AC＝BD(已知)，∠BAC＝∠ABD(已知)，AB＝BA

6、(公共边)，∴△ABC≌△BAD(S.A.S.)，∴∠CBA＝∠DAB(全等三角形的对应角相等)，∴OA＝OB(等角对等边)，即△ABO是等腰三角形．[点评]由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果．三、用等角对等边计算等腰三角形例3已知三角形的内角分别是x度，y度，且x2－y2＝0.三角形的一边长为7，另一边长为10，求它的周长．[解析]先由内角关系x2－y2＝0，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长．解：由x2－y2＝0，得(x＋y)(x－y)＝0.因为x＋y≠0，所以x－y＝

7、0,即x＝y.由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形．当腰长是7时，则底边长是10，其周长是7＋7＋10＝24；当腰长是10时，则底边长是7，其周长是10＋10＋7＝27.所以这个三角形的周长是24或27.[点评]涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解．详解详析【整合提升】例1　C例2　[解析]要证AD＝AB＋CD，在AD上截取线段AF，使AF＝AB，只需证DF＝DC即可．证明：在线段AD上截取线段AF，使AF＝AB，连结EF.在△ABE和△AFE中，∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE