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《2017年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业（含解析）新人教a版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基本不等式课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-8]∪[0,+∞)B.(-∞,-4)C.[-8,4)D.(-∞,-8]【解析】选D.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,即a+4=-≤-4,所以a≤-8.2.下列不等式的证明过程正确的是 ( )A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若x>0,则cosx+≥2=2C.若x<0,则x+≤2=4D.若a,b∈R,且ab<0,则+=-[+]≤-2=-2【解析】选D
2、.A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”,故均错误.3.(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=1+1++=2++,因为a>0,b>0,所以2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·佛山高二检测)已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是__________.
3、【解析】3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=7.答案:75.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____________.【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.答案:[9,+∞)【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b∈(0,+∞)而求出ab∈(-∞,1]∪[9,+∞)的错误.三、解答题(每小题10分,共30分)6.求函数y=(x≥0)的最小值.【解析】原式变形得:y==x+2++1,因为x≥0,所以x+2>
4、0,所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时等号成立.所以y=(x≥0)的最小值为7.7.(2016·银川高二检测)如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.【解析】(1)设AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形AMPN的面积为S,
5、则S=xy.因为△NDC∽△NAM,所以=,所以x=,所以S=(y>2).由>32,得28,所以AN的长度应在或(8,+∞)内.(2)当y>2时,S==3≥3×=3×(4+4)=24,当且仅当y-2=,即y=4时,等号成立,解得x=6.所以存在M,N点,当AM=6,AN=4时,矩形AMPN面积最小为24.8.已知x,y都是正实数.求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.【证明】因为x,y都是正实数,所以x+y≥2>0,x2+y2≥2xy>0,x3+y3≥2>0.三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3
6、+y3)≥8x3y3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·聊城高二检测)已知a>0,b>0,则++2的最小值为 ( )A.2B.2C.4D.5【解析】选C.++2≥2+2≥4.2.对于x∈,不等式+≥16恒成立,则p的取值范围为 ( )A.(-∞,-9]B.(-9,9]C.(-∞,9]D.[9,+∞)【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.【解析】选D.令t=sin2x,则cos2x=1-t.又x∈,所以t∈(0,1).不等式+≥16可化为p≥(1-t),令y=(1-t)=17-
7、≤17-2=9,当且仅当=16t,即t=时取等号,因此原不等式恒成立,只需p≥9.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若a>0,b>0,a+b=1,则的最小值是__________.【解析】因为=·=·===1+.由a>0,b>0,a+b=1得ab≤=.所以≥4,所以≥9.答案:94.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为____________.【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x>0,y>0,+==≥(10+6)=,当且仅当=,又x+y=6,得
8、x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:++≥1.【证明】因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++a+b+c≥2(a+b
