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1、第七讲MATLAB在插值与逼近中的应用1插值与逼近1.1为什么要逼近数学上来讲，逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值，甚至函数表达式。为什么我们不直接计算要研究的函数或函值本身？理由如下：l用给定函数表达式计算函值很困难甚至根本不可能。如，sinx、tgx、Inx等。l由实验与测量得到的变量间对应关系常常是一函数值表（今后我们也称为表列函数）。但表所表示函在表某个中间位置的函数值却是无法知道的。l函数可能被隐含地定义，而事实上又不能用一个直接规律给出。例如，由方程ey+y+sinx=0确定的隐含数。l计算逼近函数的值往往比计算函值本身更快。
2、特别地，当原来函数以无穷级数的形式给出，只能如此。l计算机存储量有限，而其计算量相对来说却很大，从某种意义上来讲，逼近实际上也是为了取长补短。如，我们不可能将所有的sinx的值都存在计算机内，但我们将会看到，利用琏近我们的却可以很方便地算出任一点的函数值。l实际应用中，只要函数值符合某一个精度要求也就够了。1.2逼近的分类逼近函数是为了更方便地计算函数，更简单地表达函数。因此，常用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。通常的逼近形式有：我们称ф（x）,i＝0，1，2，…，m为逼近函数，f(x)称为逼近函数。1.3逼近的原则已知函数f(x)在n+1个点x
3、i（i＝0，1，2，…，n）的函数值为f(xi)（i＝0，1，2，…，n）。要求出f(x)的逼近函数g(x)，则要选定逼近基函数，确定上式中的常数ai（i＝0，1，2，…，m）。基函数选定往往跟实际问题有关；而确定常数ai（I＝0，1，2，…，m）以保证逼近函数g(x)能更近似地表示函数f(x)，则是我们这里要解决的问题。为此，就要首先给出一个准则，来描述“更近似”。定义距离：其中，p>0为一实数。则“更近似“即指“e更小“。因此，确定ai（i＝0，1，2，…，m）使得e取得最小即可。e称为逼近误差。若p=1，称为一致逼近，p=2，称为平方逼近。从上式不难看
4、出，就此式而言，e最好的最小值为零，此时，g(xi)=f(xi)，逼近函数g(x)恰好经过所有n+1个已知点（xi，f(xi)），（i＝0，1，2，…，n）。1.4什么叫插值给定n+1个数据点（x0,y0），(x1,y1)，…，(xn,yn)，若逼近函数经过n+1个数据点，即在已知数据点上的逼近误差为零，则称逼近函数为插值函数，简称为插值。若存在P(xi)=yi(i=0,1,…,n)称P(x)为y=f(x)的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。主要算法有Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值及三次样条插值等。1.5
5、Lagrange插值1.5.1线性插值过函数y=f(x)上的两点(x0,y0)(x1,y1)作一直线p1(x)近似地替代f(x)即：p1(x0)=y0p1(x1)=y1由点斜式1.5.2抛物插值过函数y=f(x)上的三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)作一抛物线p2(x)近似地替代f(x)即：p2(x0)=y0p2(x1)=y1p2(x2)=y2作二次式l0(x),使其满足l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,易推出：同理则1.5.3Lagrange插值设函数y=f(x)在给定的两两互异的节点x0,x1,…,xn上的函数值为y0
6、,y1,…,yn,求作一个次数≤n的多项式使它满足这就是Lagrange插值多项式1.5.4Lagrange插值的流程图1.5.5Lagrange编程functiony=lagrange(x0,y0,x)%lagrangeinsertn=length(x0);p=0;fori=1:nl=1.0;forj=1:nifj~=il=l*(x-x0(j))/(x0(i)-x0(j));endendp=p+l*y0(i);endy=p;例例给出f(x)=e-x的数值表，用lagrange插值计算e-0.2的近似值x0.100.150.250.30ln(x)0.9048
7、370.8607080.7788010.740818x0=[0.100.150.250.3];y0=[0.9048370.8607080.7788010.740818];y=lagrange(x0,y0,0.2)y=0.818730166666667例给出f(x)=lnx的数值表，用lagrange插值计算ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8ln(x)-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144x0=[0.4:0.1:0.8];y0=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.3
8、56675-0.223144];y=lagrange
