《插值与逼近》ppt课件

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1、第6章插值与逼近§1多项式插值问题设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个点ax0

2、(x)多项式插值,从几何上看就是要求过n+1个点(xk,yk)(k=0,1,…,n)的n次代数曲线y=pn(x)作为(x)的近似.用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若pn(x)Pn,则pn(x)=a0+a1x+…+anxn是由n+1个系数唯一确定的.若pn(x)满足插值条件(6.2),则有x1xny=pn(x)其系数行列式为定理6.1给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值y0,y1,…,yn,则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式pn(x)是存在且唯一的.§2Lagrange插值多项式对n+1个节点x0,x1,…,xn,构造n+1个n次多项式

3、l0(x),l1(x),…,ln(x),使满足li(xj)=ij,i,j=0,1,…,n(6.3)就是函数(x)满足插值条件(6.2)的n次插值多项式.那么Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk(k=0,1,…,n)的n次Lagrange插值基函数,(6.4)式确定的n次多项式Ln(x)称为n次Lagrange插值多项式.由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n),所以可设lk(x)=c(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn

4、)再由lk(xk)=1确定c,从而有若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成若取(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,有例1求(x)关于节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式解对节点x0,x1,Lagrange插值基函数为于是有易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线.例2求(x)关于节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多项式.解对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为于是有L2(x)是过点(x0,(x0)),(x1,(x

5、1))和(x2,(x2))的抛物线.为了研究插值多项式的近似程度,记Rn(x)=(x)-Ln(x)称为n次Lagrange插值余项.Lagrange插值多项式简单而优雅,只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式.易于计算机上实现.设(n)(x)在[a,b]连续,(n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点ax0

6、(x)对于任一x[a,b],xxi(i=0,1,2,…,n),构造函数(t)=(t)-Ln(t)-C(x)n+1(t)则有(xi)=0(i=0,1,2,…,n),(x)=0即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点.0=(n+1)(x)=(n+1)(x)由Rolle定理可知(t)在[a,b]至少有n+1个零点,反复应用Rolle定理知(n+1)(t)在[a,b]至少有1个零点x,于是-C(x)(n+1)!因而有所以若

7、(n+1)(x)

8、在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值余项也可写成用二次插值计算ln11.25的近似值,并

9、估计误差.例3给定函数表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有ln11.25L2(11.25)在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式实际上,ln11.25=2.420368,

10、R2(11.25)

11、=0.000058.在被插值函数未知或无法估计其高阶导数界时,上述插值余项不能用来估计误差,下面介绍事后误差估计法.记Ln(x)是(x)以x0,x1,…,xn为节点的n次插值多项式而Ln(1)(x)为(x)以x