第5章　插值与逼近

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1、第五章插值与逼近引言：我们可用插值或逼近的方法解决这类问题。而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。y1,…,yn；或者f(x)的函数表达式是已知的,但却很复杂其在[ab]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn处的函数值y0,[ab]上是存在的。但是只能通过观察、测量或试验得到在实际问题中常遇到这样的函数f(x)=y,它在某个区间插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定条件下在某个范围内近似代替另一个较复杂的函数或解析表达式未能给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。§5.1代数插值§5.1

2、.1一元函数插值一、基本概念代数插值问题：在次数不超过n的多项式集合这类问题称为一元函数的代数插值问题。称为插值结点，f(x)称为被插函数，称为插值基函数。插值多项式的存在唯一性二、Lagrange插值方法三、插值余项与截断误差估计说明：例5.1四、Newton插值方法(5.1.7)差商Newton插值公式将以上结果代入(5.1.7)得到Newton插值公式说明差商的性质差商表例5.2解：先造差商表一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.410750.550.578150.650.696750.800.8

3、88110.901.026521.051.25386由Newton公式得四次插值多项式为：定理5.2证明§5.2Hermite插值前面所讨论的代数插值问题只要求插值多项式pn(x)满足插值条件：如果在插值条件中再增加对结点处导数的限制，则构造的多项式函数能在光滑性上于结点处与原函数保持一致从而使构造出的函数能更好地逼近原来的函数引言Hermite插值问题在次数不超过n+m+1的多项式集合的Hermite插值多项式存在性定理误差估计(5.2.3)例5.2.1例5.2.1给定函数值表如下:带重结点的差商表§5.6.1最佳

4、平方逼近的概念与解法§5.6函数的最佳平方逼近权函数一、基本概念内积函数组的生成子空间最佳平方逼近多项式(5.6.1)最佳平方逼近的条件(5.6.2)二、最佳平方逼近元素的求法(5.6.3)非奇异的，即法方程组存在唯一解。均方误差例1定义内积正交多项式组(5.6.4)(5.6.5)Legendre多项式Chebshev多项式Laguerre多项式Hermite多项式三角函数系例1(续)应用Legendre多项式求解例1曲线拟合问题已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…,n,寻求一个函数（曲线）y

5、=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离(纵轴方向)§5.6.5曲线拟合与曲面拟合拟合与插值的关系函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。问题相同：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线。解决方案不同：若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线通

6、过所给所有数据点，就是插值问题；最小二乘法(5.6.7)(5.6.8)求最小二乘法解的方法类似于定理1和定理2的证明，我们可以证明以下结论。(5.6.11)例2给定数表x-0.75-0.5-0.2500.250.50.75y0.330.881.442.002.563.133.71试分别用一次、二次、三次多项式根据最小二乘原则拟合这些数据，并比较优劣。xy解(1)法方程的解为所求一次多项式为误差平方和(2)法方程的解为所求二次多项式为误差平方和法方程的解为所求三次多项式为误差平方和(3)例3已知一组实验数据x23478

7、101114161819y106.42108.20109.50110.00109.93110.49110.59110.60110.76111.00111.20试以最小二乘原则求一个函数拟合这组数据。xy(1)双曲线模型这时，法方程的解为所求双曲线函数为误差平方和(2)指数曲线模型两边取对数其中由此原数据表可换成数据表法方程的解为由此得误差平方和所求指数函数为定理1证明