5函数的插值与最佳平方逼近

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1、第5章函数的插值与最佳平方逼近实践中常有这样的问题：(1)由实验得到某一函数f(x)在一系列点x0，x1，…，xn处的值f0，f1，…，fn，其函数的解析表达式是未知的(2)或者f(x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用需要构造一个简单函数y(x)近似地代替f(x)——这就是函数逼近问题5.0基本概念1.逼近函数与被逼近函数函数逼近问题中的函数f(x)称为被逼近函数，y(x)称为逼近函数，其中所谓简单函数指可用四则运算进行计算的函数（如：有理、多项式、分段多项式）2.逼近的度量(1)以为度量的逼近称为一致逼近(2)以为度量的逼近称为平方逼近3.插值与拟合设已知被逼近函数f(x)在

2、离散点xiÎ[a，b]上的值f(xi)=fi，(1)要求y(x)满足（甚至）的问题称为函数插值。(2)要求y(x)满足为最小的问题称为数据拟合（曲线拟合）4.简单函数类设φ0，φ1，…，φn线性无关，令Φ=span{φ0，φ1，…，φn}为简单函数类，其中φ0，φ1，…，φn称为Φ的基函数。逼近问题即用y(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)来做逼近，问题归结为求其中的待定系数a0，a1，…，an。5.1多项式插值即：求多项式pn(x)满足插值条件：pn(xi)=f(xi)=fii=0，1，2，…，n(5.1-1)其中点xiÎ[a，b]i=0，1，2，…，n，

3、称为插值节点，区间[a，b]称为插值区间，pn(x)称为插值多项式定理5.1-1存在唯一pn(x)ÎPn[x]满足插值条件(5.1-1)证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn}，则pn(x)ÎPn[x]表为pn(x)=a0+a1x+…+anxn(5.1-2)由(5.1-1)知pn(xi)=a0+a1xi+…+anxin(i=0，1，2，…，n)(5.1-3)(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn≠0，即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x)ÎPn[x]满足插值条件(5.1-1)。例1给定数据xi-1125fi-77

4、-435求次数不小于3的插值多项式p3(x)解：注：(1)范德蒙矩阵的条件数很大——误差大计算量大(2)选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式1.Lagrange插值因为所以先考虑特殊的插值问题。求次数不大于n的多项式li(x)满足(5.1-4)由(5.1-1)知，li(x)唯一存在，且有n个零点：x0，...，xi-1，xi+1，...，xn所以li(x)=bi(x–x0)...(x–xi-1)(x–xi+1)...(x–xn)又由li(xi)=1，得即(5.1-5)注：(1)易知{l0，...，ln}为Pn[x]的一组基，称为以x0，...，...，xn为节点的Lagrang

5、e插值基函数。(2)令(5.1-8)则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足插值条件(5.1-1)(j=0，1，...，n)称pn(x)为Lagrange插值多项式。(3)n=1时称为线性插值：，p1(x)=l0(x)f0+l1(x)f1n=2时称为抛物插值：p2(x)=l0(x)f0+l1(x)f1+l2(x)f22.Newton插值L插值的缺点：每增加一个新节点，其插值基函数li(x)要重新计算，能否充分利用已有结果呢？为此作基函数：即将pn(x)表示为：(5.1-10)这样，当增加一个新节点时，只需增加一个新项利用插值条件(5.1-1)可得c0=f

6、0称为一阶差商称为二阶差商…称为i阶差商(i=1，2，…，n)从而有pn(x)=f0+f[x0，x1](x–x0)+…+f[x0，x1，…，xn](x–x0)(x–x1)…(x–xn)(5.1-11)称为Newton插值多项式注：差商的基本性质如下：(1)i阶差商f[x0，x1，…，xi]可表为f(x0)，f(x1)，…，f(xi)的线性组合(2)差商具有对称性，即差商与它所含节点的排列顺序无关(3)若f为m次多项式，则i阶差商：(4)差商表xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商…n阶差商x0f(x0)x1f(x1)f[x0，x1]x2f(x2)f[x1，x2]f[x0，x1，x2]

7、x3f(x3)f[x2，x3]f[x1，x2，x3]f[x0，x1，x2，x3]………………xnf(xn)f[xn–1，xn]f[xn-2，xn-1，xn]f[xn-3，xn-2，xn-1，xn]...f[x0，x1，...，xn]例3（p369）3.插值余项称R(x)=f(x)–pn(x)为插值余项定理5.1-2设f(x)在插值区间[a，b]上存在n+1阶导数，则对于任意xÎ[a，b]，存在x=x(x)Î(a，b)，使(5.1-12)证明：显然R(xi)=0，(i=1，2，…，