第四章 多项式插值与函数逼近ppt课件.ppt

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1、广义多项式函数逼近问题的提法：假设是定义在某区间上的函数，现寻求另一个构造简单、计算量小的函数来近似地代替：为区间上的一个线性无关函数系为一组实常数。就是我们前面讨论的多项式逼近若线性无关函数系取第四章(二)函数逼近常用的函数系：幂函数系：三角函数系：指数函数系：权函数定义：设为区间[a,b]上的非负函数，且满足（1）对一切非负整数p可积且有限；（2）假设对某个非负连续函数则在[a,b]上则称为区间[a,b]上权函数。函数逼近构造思想：要求构造函数在整个区间上与已知函数的误差尽可能小误差度量标准：其中为权函数（2）（1）一致逼近逼近本章主要内容：1、最佳平方逼

2、近2、最佳平方逼近中函数系的选择方法3、最佳一致逼近一、最佳平方逼近假设，是[a,b]上的一个线性无关函数系,且,为[a,b]上的一个权函数如果存在一组系数使得广义多项式满足称函数为在[a,b]上关于权函数的最佳平方逼近或最小二乘逼近；特别，若，则称是在[a,b]上的最佳平方逼近.由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记求驻点（极值的必要条件）：即：记将代入前式：令称矩阵是关于函数系的Gram(格拉姆)矩阵易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：上述方程组存在唯一解（驻点唯一）设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面证明即记设给定节点，则其

3、最佳平方逼近唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。注：前述Gram组成的方程组通常称为法方程组最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到Gram矩阵是实对称正定矩阵例1：求函数在上的最佳平方逼近：解：本题的函数系和权函数为：首先计算Gram矩阵：求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方程组的系数矩阵为：n+1阶的Hilbert矩阵病态矩阵二.函数系的选择方法如果（正交函数系）则称为区间上关于权函数的正交（直交）函数系。特别，若称之为标准（规范）正交函数系如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对

4、角矩阵。所以方程组的解为：常用的几种正交函数系1、三角函数系：（或）正交性质2、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）性质2（正交性质）3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式）例如：性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在[-1,1]内的n个零点和n+1个最值点为：4、其它多项式系：拉盖尔（Laguerre）多项式系是区间上关于权函数的正交系埃尔米特（Hermite）多项式系是区间上关于权函数的正交系有限区间的转化问题有限区间经过下列变换可变为区间从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系或切比雪夫（Chebyshev

5、）多项式系来构造最佳平方逼近。正交多项式应用举例例2：利用Legendre多项式系，求函数在上的三次最佳平方逼近多项式。解：关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：设例3：利用Chebyshev多项式系，求函数在上的五次最佳平方逼近多项式。解：所求的五次最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式：（最佳一致逼近的定义）和的偏差设函数，集合如果存在，满足其中则称为的n次最佳一致逼近多项式，简称n次最佳逼近多项式。称为的n次最佳逼近的最小偏差三、最佳一致逼近几何意义（Chebyshev交错点组）假设，若存在n个点：满足且则称为在上的Chebyshev交错点组。（C

6、hebyshev定理）设函数，则是的最佳一致逼近多项式的充要条件是：在区间上存在一个至少有n+2个点组成的交错点组。仅证充分性，必要性见文献[21]证明：设在区间上存在交错点组：则如果不是最佳一致逼近多项式，则存在不妨假设由零点定理同理可知：在点上交错变号在区间上至少存在n+1个根矛盾！！！！（存在唯一性）设函数，则在中，有唯一的最佳一致逼近多项式。证明：仅证唯一性，存在性见文献[22]设在中存在两个不同的最佳一致逼近多项式：和令也是的一个最佳一致逼近多项式由Chebyshev定理在区间上存在交错点组：不妨假设上面两项均小于等于，故每一项等于因此，不超过n次的非零多项式

7、有n+2个根时类似可证矛盾！！！（最佳一致逼近多项式的一种求法）设在上有n+1阶导数，在上不变号，是的最佳一致逼近多项式，则：的端点属于的交错点组。证明：设或不属于的交错点组反证法则在内至少有n+1个交错点：满足反复利用Rolle定理:矛盾！例1：求函数在上的一次最佳一致逼近多项式。解：设所求的一次最佳一致逼近多项式为：由Th4.6.5知，和设的交错点组为：由交错点组的性质得到相应的非线性方程组为解之得一次最佳一致逼近多项式为：最佳一致逼近多项式求解过程总结（了解，不细讲）设在中所求的最佳一致逼近多项式为：的n+2个交错点组为：则有n+1