《多项式与插值》PPT课件

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1、第四章多项式与插值§4.1MATLAB与多项式一、多项式的建立1.MATLAB中多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，且从左至右按降幂排列；2.已知一个多项式的全部根X，求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为全部根的一个多项式P（首项系数为1），当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的向量。3.给定n+1个点可以唯一确定一个n阶多项式，利用polyfit可以确定多项式的系数。调用格式为：p=polyfit(x,y,n)其中x,y是同维向量，代表数据点的横、纵坐标，n是多项式的阶数。二、多

2、项式计算1.多项式求根求多项式p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是p(x)的系数向量，该函数返回方程p(x)=0的全部根(含重根，复根)。2.多项式求值求多项式p(x)在某点或某些点的函数值的函数是polyval(P,x)。若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例1已知一个多项式(1)计算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。(3)计算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的

3、值。P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x)X0=[5,7.8,9.6,12.3];f=polyval(P,X0)%求多项式f(x)在给定点的值3.多项式的四则运算(1)多项式的加减法注：多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。functionp3=poly_add(p1,p2)n1=length(p1);n2=length(p

4、2);ifn1==n2p3=p1+p2;endifn1>n2，p3=p1+[zeros(1,n1-n2),p2];endifn1

5、系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例2设有两个多项式，计算：(1)求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(2)求f(x)·g(x)、f(x)/g(x)。f=[3,-5,2,-7,5,6];g=[3,5,-3];poly_add(f,g)%求f(x)+g(x)poly_add(f,-g)%求f(x)-g(x)conv(f,g)%求f(x)*g(x)[Q,r]=deconv(f,g)%求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。4.多项式的微分与积分（1）对多项式求导数的函

6、数是：p=polyder(P)求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)求P*Q的导函数[p,q]=polyder(P,Q)求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。（2）对多项式的积分函数：d=poly_itg(c)d是多项式c积分后的系数，但不包括积分常数functionpy=poly_itg(p)n=length(p);py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0];例3求有理分式的导数。P=[3,5,0,-8,1,-5];Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100];[p,q]

7、=polyder(P,Q)若求多项式P的积分：c=poly_itg(P)§4.2MATLAB插值通常取为多项式函数——代数插值（多项式插值）已知f(x)在点xi上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)则称P(x)为f(x)的n次代数插值多项式.称x0,x1,…,xn为插值结点;P(x)为插值函数;条件P(xk)=yk(k=0,1,…,n)为插值条件;f(x)为被插值函数.如果P(x)=a0+a1x+···+anxn满足:P(xk)=yk(k=0,1,…,n)设f(x)∈C[a,b],取点a≤x0＜

8、x1＜···＜xn≤b代数插值问题定理：若插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异点，则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,…,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。证明:由插值条件P(x0)=y0P(x1)=y1··············P(xn)=yn方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解.从而插值多项