《多项式插值》ppt课件

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1、2.1多项式插值总结2.1.4Hermite插值多项式2.1.3均差和Newton插值多项式2.1.2Lagrange插值多项式2.1.1问题的提出第二章函数的插值学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。2.1.1问题的提出函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)或者给出函数表y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn求解：y=f(x)在[a,b]上任一点处函数值的近似值？根

2、据f(x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为f(x)的近似表达式，插值法然后计算p(x)在[a,b]上点x处的函数值作为原来函数f(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路(1.2)式称为插值条件，x2<⋯

3、则称p(x)为f(x)的插值函数。近似计算f(x)的值、零点、极值点、导数、积分，插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,…,n)处与f(xi)相等,在其它点x就用p(x)的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是…?代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的内容插值函数的

4、类型有很多种插值问题插值法插值函数分段函数…三角多项式本章先讨论插值问题，然后讨论数据拟合的有关问题。拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点，而只要求在给定的上误差（i=0，1，…n）按某种标准最小。若记δ=(δ1,δ2,…,δn)T，就是要求向量δ的泛数

5、

6、δ

7、

8、最小。1.定义：若p(x)是次数不超过n的实系数代数多项式,即则称p(x)为n次插值多项式。相应的插值法称为多项式插值法。常用次数小于（等于）n的实系数代数多项式集合Hn：Hn={pn(x)

9、pn(x)=a0+a1x+⋯+anxn，ai为实数}p(x)=a0+a1

10、x+⋯+anxnx0x1x2x3x4xf(x)p(x)从几何上看曲线P(x)近似f(x)研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P(x)近似替代f(x)产生的误差？2、插值多项式的存在唯一性设pn(x)是f(x)的插值多项式，Hn表示次数不超过n的所有多项且pn(x)∈Hn.称插值多项式存在且唯一，就是指在由(1.2)可得(1.3)方程组(1.3)有唯一解插值多项式的唯一性≠0(xi≠xj)定理1满足条件(1.2)的插值多项式存在且唯一。范德蒙行列式a0,a1,a

11、2,⋯,an存在唯一p(xi)=yii=0,1,2,⋯,nHn中有且仅有一个pn(x)满足插值条件(1.2)式。式的集合。上述的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。然而，直接求解方程组(1.3)的方法，不但计算复杂，而且难于得到p(x)的简单表达式。下面，我们将给出不同形式的便于使用的插值多项式。基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数0(x),1(x),…,3(x),使pn(x)=a00(x)+a11(x)+…+an3（x)不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newt

12、on插值2.1.2Lagrange插值多项式求n次多项式使得先考察低次插值多项式。1、线性插值当n=1时，要构造通过两点(x0,y0)和(x1,y1)的不超过1次的多项式L1(x)，使得x0yy=f(x)的几何意义y=L1(x)x0x1——过两点(x0,y0)与(x1,y1)的直线或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数线性函数y10xkxk+1xl0(x)l1(x)节点上的线性插值基函数：满足y10x0x1x例1已知,,求解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值-----过三点(xk-1,yk

13、-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)2、抛物插值法(n=2时的二次插值)设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项