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1、第七讲MATLAB在插值与逼近中的应用1插值与逼近1.1为什么要逼近数学上來讲，逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值，甚至函数表达式。为什么我们不直接计算要研究的函数或函值本身？理由如下：•用给定函数表达式计算函値很困难甚至根本不可能。如，sinx、tgx、Inx等。•由实验与测暈得到的变暈间对应关系常常是一函数值表(今后我们也称为农列函数)。但表所表示函在表某个屮间位置的函数值却是无法知道的。•函数可能被隐含地定义，而事实上又不能用一个直接规律给出。例如，由方程ey+y+sinx=O确定的隐含数。•计算逼近函数的值往往比计算函值木身更快
2、。特别地，当原來函数以无穷级数的形式给岀，只能如此。•计算机存储量有限,而其计算量相对來说却很大，从某种意义上來讲,逼近实际上也是为了取长补短。女n,我们不可能将所有的sinx的值都存在计算机内，但我们将会看到，利用琏近我们的却可以很方便地算出任一点的函数值。•实际应用中，只要函数值符合某一个精度要求也就够了。1.2逼近的分类逼近函数是为了更方便地计算函数，更简单地表达函数。因此，常用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。通常的逼近形式有：1•多项式：p(x)=》QrJ;k=02.分段多项式：在不同的区间上。用不同的多项式來逼近；3.三角多项式：工［
3、务sin也+优cosg；*=o4.有理分式：两个多项式之比几O)/p”O),其中几0)=工Q#几O)=工®0；/=0/=0加5.指数函数：^akexp(^x);i=06.其它形式,如,兀,sin兀,Inx,以等的线性组合。上述123.6中逼近形式可统一表示为于⑴二工d*(x)1=0我们称巾(x),i=0,1,2,…，m为逼近函数,f(x)称为逼近函数。1.3逼近的原则已知函数f(x)在n+1个点Xi(i=0,1,2,…，n)的函数值为f(x)(i=0,1,2,…，n)。要求出f(x)的逼近函数g(x),则要选定逼近基函数，确定上式中的常数&(i=0,1,2
4、,…，m)。基函数选定往往跟实际问题有关；而确定常数ai(1=0,1,2,…，m)以保证逼近函数g(x)能更近似地表示函数f(x),则是我们这里要解决的问题。为此，就要首先给出一个准则，来描述“更近似”。定义距离:1va〕7尸工乜⑴—/a)i"»J=o■其中,p>0为一实数。则“更近似“即指“e更小“。因此,确定ai(i=0,1,2,…,m)使得e取得最小即可。e称为逼近误差。若p二1,称为一致逼近，p=2,称为平方逼近。从上式不难看出,就此式而言，e最好的最小值为零,此时,g(xj=f(xi),逼近函数g(x)恰好经过所有n+1个已知点(xi,f(xi)
5、),(i=0,1,2,…，n)。1.4什么叫插值给定n+1个数据点(xo,y°),(xi,yi),…，(x“,y“)，若逼近函数经过n+1个数据点，即在已知数据点上的逼近误差为零，则称逼近函数为插值函数，简称为插值。若存在P(xi)=yi(i=0,1,…,n)称卩(x)为y=f(x)的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。主要算法有Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值及三次样条插值等。1.5Lagrange插值1.5.1线性插值过函数y二f(x)上的两点(xO,yO)(xl,yl)作一直线pl(x)近似地替代f(
6、x)即：pl(xO)=yOpl(xl)=yl由点斜式=yO-yOx-兀0xl一xOx一xOxl一xOyix-xOxl-xO令/0(x)=X~xl,/l(x)=xO-xl则/O(xO)=l,/O(xl)=O/l(xO)=O,/l(xl)=lpl(x)=/0(x)y0+/l(x)yl1.5.2抛物插值过函数y=f(x)±的三点(xO,yO),(xl,yl),(x2,y2)作一抛物线p2(x)近似地替代f(x)即：p2(xO)=yOp2(xl)=ylp2(x2)=y2作二次式l0(x),使其满足lo(xo)=l,lo(xi)=o,lo(x2)=O,易推出:假设l
7、()(x)=c(x-^1)(x-%2)由*o(xo)=,得叶d)(—2)(x0-%,)(%0-x2)同理（兀
8、—尢0）（兀］—兀2）T（「H）（兀2-兀0）（兀2一兀1）p2(兀)=lO(x)yO+Zl(x)yl+I2(x)y21・5・3Lagrange插值设函数y二f（x）在给定的两两互异的节点xO,xl,…,xn上的函数值为yO,yl,…,yn,求作一个次数Wn的多项式Pn(x)=a0+a+a2x2+...+anx使它满足几(兀,)=儿i=°」2…,n假设Pn（X）=/X（X）X/=0其中h（勺）iHj••1=Jlj(兀)=C(X一xo)•••(%—X
9、..!)(x一X/+1)...(兀_xt,)之口(兀-厂)J=0所
