第一节函数的有界性和最值.doc

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1、第一节：函数的有界性和最值一、有界性定义1：设为函数定义域的子集，若，使得有(或)，则称在上有上(或下)界.称为它的一个上(或下)界.定义2：设为函数定义域的子集，若，使得有(或)，则称在上有上(或下)界函数.称为它的一个上(或下)界函数.二、最值略三、例题讲解例1、求证函数在上无上界.证明：对于任意的，只需证明使得.为此：取要使得：，只需要，可取故函数在上无上界.例2、(北约2010)求方程的实根的个数.解：注意到所以：方程左边，从而方程无实根.例3、，若在上的最大值为，则的最小值为.解：，则故，时取得等号.例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分

2、别要去第二至第二十层，每层一人.而电梯只允许停一层，只可让一人满意，其余18人都要步行上楼或下楼.假定乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人的不满意度和为，为使得最小，电梯应停在第层.解：设电梯应停在第层()，则则当时，最小.例5、求函数的最小值.解：定义域为当时，和均为减函数，从而为减函数，当时，和均为增函数，从而为增函数，从而，.例6、，则的最小值为.解：当时，的最小值为在数轴上两点之间取得.，，分别在区间中取最小值33,7,3，和为43.例7、(2011北约)求的最小值.解：由绝对值的几何意义：的最小值为在数轴上两点之间取得.所以将整理

3、为共有=项，则可理解为到这个点的距离之和.从两端开始向中间靠拢，的最小值在取得，的最小值在取得，………所以的最小值应在正中间某个零点或相邻的两个零点之间取得由可得取得最小值的的围在第个零点和第个零点之间(易得这两个零点相同)由，所以第个零点和第均为，则.例8、对给定的正数，，试求函数在区间上的最大值.解法一、为方便起见，令，则有，所以等号成立当且仅当即，解得注意到，，易证明，故当时，在区间上的最大值解法二：如图，线段的长度为1，为线段上的任一点，，作直角梯形使得，则(可使得，显然在图中恒有)于是，在中，由余弦定理及条件，得所以等号成立当且仅当为矩形作业：1.设是实数

4、，求的最小值.解法一：配方解法二：配方，再用不等式平方平均值大于等于算数平均值，即可解法三：判别式法解法四：换元消去交叉项，再配方2.若，则的最小值为.解：判别式法，最小值为.3.，则的最小值为.解：所以当时，函数的最小值为.4.(2009年湖北改编)函数，的最大值为.若对任意的恒成立，试求得最大值.解：.5.设函数，对于给定的负数有一个正数，使得在整个区间上，不等式都成立.问：为何值时最大？求出这个最大的，并证明你的结论.解：时，.