第一节：函数的有界性和最值

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1、第一节：函数的有界性和最值一、有界性定义1：设A为函数/(兀)定义域的了集，若3M，使得VxgA有/(x)WM(或/(x)>M),则称/(%)在A上有上(或下)界.称M为它的一个上(或F)界.定义2：设A为函数/(x)定义域的子集，若3M(x),使得V%gA有或/(x)>M(x)),则称/(兀)在A上有上(或下)界函数.称M(x)为它的一个上(或下)界函数.二、最值略三、例题讲解例1、求证函数/(x)=—sin丄在兀w(0,—)上无上界.xx2证明：对于任意的M〉0,只需证nJ]3x()G(0,-)使得/(x)>M・

2、2]tt717T为此：取兀()=,kw"+，/(兀())=(2£龙+—)sin(2k;r+—)=2乃r+—N+2航+兰2222tt7T71耍使得：2k/r+—>M，kwN「只需耍k>——(M——),可取£=[——(M——)]+122龙22龙2故函数f(兀)=isin-在“(0,-)上无上界.xx2例2、(北约2010)求方程Jx+11-677豆+J兀+27-10VT巨=1的实根的个数.解:、主意fUJx+11—6丁x+2=Jx+2—2・3°/兀+2+3〜=3-Jx+2Jx+27—10Jx+2=2—2•5•Jx+

3、2+5-=5—a/x+2所以：方程左边=3-77+2+5-V7+2>2>1,从而方程无实根.例3、f(x)=x2+px+q,p,qe/?,若

4、/(兀)

5、在xw[—l,l]上的授大值为M,则M的最小值为.解：M=max

6、/(x)

7、,M>/(1)

8、=

9、1+p+,M>

10、/(-1)

11、=

12、1-p+^

13、,M>

14、/(0)

15、=qfS1则4Mn

16、l+p+q

17、+

18、l-p+g

19、+2-q»

20、(1+p+g)+(1-#+g)-2g

21、=2故M斗“0妇冷时取得等号.例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别耍去第二至第二十

22、层，每层一人•而电梯只允许停一层，只可让一人满意，其余18人都要步行上楼或下楼.假定乘客每向下走一层不满意度为1,每向上走一层不满意度为2,所冇人的不满意度和为S,为使得S最小，电梯应停在笫层.解：设电梯应停在第兀层(2/2x2-3x+4+Vx2-2x的最小值.解：定义域为(-oo,0]U[2,+oo)当兀50时，y=yl2x2-3x+4和y=J

23、x?-2兀均为减函数，从而于(兀)为减函数,当x>2时，y=J2F-3兀+4和y=JF-2x均为增函数，从ifijf(x)为增函数,从而,/U)min=min{/(0),/(2)}=2.例6、f(x)=2X—1

24、+X—2

25、+

26、x—5+x—8

27、+X—34

28、,则f(x)的最小值为.解：当a

29、兀一b的最小值为b-a在数轴上a,b两点之间取得.x-l

30、+

31、x-34

32、,

33、x-l

34、+

35、x-8

36、,

37、x-2

38、+

39、x-5

40、分别在区间[1,34],[1,8],[2,5]中取最小值33,7,3,和为43.例7、(2011

41、北约)求卜一1

42、+

43、2兀一l

44、+

45、3x—l

46、+・・・+

47、2011x—1

48、的最小值.解：由绝对值的几何意义:卜-询+卜-的最小值为h-a在数轴上两点之间取得.所以将.f(x)整理为%—1

49、+1X——2+1X——2+1X——3+1X——3+1X——3+…+X—1+1V,+•••+1V2011A2011X2011共有1+2+34-•••+2011=1006x2011项,则产(兀)可理解为兀到这1006x2011个点的距离Z和•从两端开始向中间靠拢，兀一1

50、+兀—2011的最小值在心血,1］取得,1x——21x2011的

51、最小值在©盅却取得,所以/(%)的最小值应在正屮间菜个零点或相邻的两个零点之间取得III1006x20112=503x2011可得収得最小值的x的围在第503x2011个零点和笫503x2011+1个零点之间(易得这两个零点相同)由呼＜503X201—421,所以第503X2011个零点和第503X2011+1均为11422592043711例8、对给定的正数p,qw(0,l),p+q>l,p2+g2si,试求函数f(兀)=(1—兀)J1丁+xjg?_(]_乂)-在区间[1—q、p]上的最人值.解法一、为方便起见，令

52、U二J/??_兀2,*二Jg2_(]_兀)2,Q二]—兀方二无,则有/+戾=+/=+b=1,f=au+bv所以f2=crir+b2v2+2abuv=(w2+Z?2)(v2+^z2)-(ab一uv)2=p2q2(2ab-2wv)2=p2q2-—[2ab+(u-v)2-u2-v2]244=p2q2一丄[(«-v)2一p?_q2+/+方2+2"]24