函数极值和最值,函数凸凹性部分的教室演习

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1、函数极值和最值，函数凸凹性部分的课堂练习一、回顾函数极值和最值的基本内容1、一元函数的可能的极值点只能是函数的稳定点和使得导数不存在的点。2、利用单调性判断函数的极值点的判别法：设函数/（兀）定义在区间/上，x^I（X。不是/的端点），若存在t/°（x0,^）,且在.f（x）在和卍（兀0,5）内的具有单调性且单调性相反，则勺必为f（x）的极值点。具体来讲，若在卍（兀。,5）内，f（x）,而在（/：）（兀（）,5）内，/（X），则兀0必为于（兀）的极大值点；若在（/?（无0，/）内，/（%）,而在比（兀0,5）内，f（x）,则兀0必为/（兀）的极小值点。3、利用一阶导数判断函数

2、的极值点的判别法：设函数/（兀）定义在区间I上,G/（x0不是/的端点），若存在t/°（x0,J）,使得/（兀）在内可导，且在ff（x）在疋（兀0,5）和卍（兀（）,5）内的符号相反，则兀（）必为/（兀）的极值点。具体来讲，若在疋（兀00）内，fx）＞0,而在〃?（兀0，/）内，/'（x）vO,则兀0必为f（x）的极大值点；若在〃?（兀00）内，fx）＜0,而在卍（心0）内，广（兀）＞0,则兀0必为/（X）的极小值点。4、稳定点为极值点的二阶导数判别法：设.f（x）在兀。二阶可导，且兀。为.f（x）的稳定点，若厂（兀（））＞0‘则兀。必为门兀）的极小值点;若/"（兀。）＜

3、0,则心必为/（X）的极大值点。5、稳定点为极值点的二阶导数判别法：设/'（X）在X。77阶可导，X。为/（兀）的稳定点，且广（兀。）=厂（兀。）=…=尸1（兀。）=0,严）（兀°）丰0若7?为奇数，则X。一定不是.广（工）的极值点；若“为偶数，则当/（n）（x0）＞0时，观必为/（兀）的极小值点；当尸"）（心）＜0时，兀必为/（X）的极大值点。6、闭区间上连续函数最值的求法：先求函数在闭区间内所有可能的极值点；再求函数在这些点处的函数值以及在闭区间的两个端点处的函数值；最后比较这些函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。7、一般区间上连续函数最值的一种求法：若

4、函数在区间/上连续，且在区间/上仅有唯一一个极值点，则此极值点必为函数相应的最值点。二、试用确定函数极值的方法探索下面的问题：设函数/(兀)在闭区间S,甸上二阶可导,且满足/7x)+/v)g(x)-/(x)=o,其中g(x)为闭区间[a,b]给定的函数,1、/(x)在(o,b)内一定没有正的最大值；提示：用反证法。倘若存在x0g(a,b),使得/(x0)>0为最大值，则必有广(兀0)=0,且兀。是/(兀)的极大值点，注意到在[。,方]上,r(x)+fr(x)g(x)-f(x)=0得,/"(x0)-/(x0)=/7x0)+/，(x0)^(x0)-/(x0)=0,从而厂(兀))=

5、/(如)〉0,故兀()为/(兀)的极小值点，这与兀()是/(兀)的极大值点矛盾。2、/(%)在(a,b)内一定没有负的最小值；提示：方法同1。3、若/(兀)还满足：f(a)=f(b)=O,则在[a,b]上,/⑴三0。提示：由/(x)在闭区间[a,b]上一定连续得，minf(x)和maxf(x)都存在。由1和x^[aj>]'xe[a,b]2并注意到f(a)=f(b)=0相等可得,0

6、函数的极值特点，詹生不等式等)；可导函数凸凹性的导数判别方法以及曲线拐点的判别法(注意：可导函数的拐点的判别实际上就是广(X)的极值点的判别)。四、利用函数的凸凹性的相关内容解决下面的问题：1、证明：/(%)为区间/上的凸函数o对任何,x2e/,函数(P(九)=/(2%!+(l-/l)x2),为［0,1］上的凸函数。提示：由0（2）为［0,1］上的凸函数，并注意到0（0）=/（兀2），0（1）=/（兀］）和A=^l+（l-2）-0可得/（%）为区间/上的凸函数；由/（兀）为区间/上的凸函数，注意到对任意&,兄2w［0,l］，2w（0,l）［2入+（1—久）入］兀］+（1—［2

7、人+（1—A）A7］）x7=A［入兀］+（1-人）禺］+（1-几）［希兀］+（1—入）兀2］°（/1）为［0,1］上的凸函数,2、（1）设于（兀）在［0,+oo）±二阶可导，且/（0）=0,fx）<0（或/"（x）<0）,则在（0,+oo）上/血单调递减（或严格递减）。（2）设/（x）在［0,+oo）上一阶可导，且/（0）=0,广（兀）在（0,+s）上单调递减（或严格递减），则在（0,+oo）上丄®单调递减（或严格递减）。x提示：利用凸凹函数的斜率特征。3、设/（X）在（-O0,+oo）上二阶可导且有